Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{1}{\ln (x - 7)} - \frac{1}{x - 8}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Um $\frac{1}{\ln (x - 7)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{\ln (x - 7)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{1}{x - 8}$

Schritt 1.2

Um $- \frac{1}{x - 8}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\ln (x - 7)}{\ln (x - 7)}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{\ln (x - 7)} \cdot \frac{x - 8}{x - 8} - \frac{1}{x - 8} \cdot \frac{\ln (x - 7)}{\ln (x - 7)}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\ln (x - 7) (x - 8)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (x - 7)}$ mit $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{\ln (x - 7) (x - 8)} - \frac{1}{x - 8} \cdot \frac{\ln (x - 7)}{\ln (x - 7)}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 8}$ mit $\frac{\ln (x - 7)}{\ln (x - 7)}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{\ln (x - 7) (x - 8)} - \frac{\ln (x - 7)}{(x - 8) \ln (x - 7)}$

Schritt 1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 8) \ln (x - 7)$ um.

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{\ln (x - 7) (x - 8)} - \frac{\ln (x - 7)}{\ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8 - \ln (x - 7)}{\ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 8} x - 8 - \ln (x - 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8 - lim_{x \to 8} \ln (x - 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 - lim_{x \to 8} \ln (x - 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2.1.2.3

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 - \ln (lim_{x \to 8} x - 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2.1.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 - \ln (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2.1.2.5

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 - \ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2.1.2.6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.2.6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8 - \ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2.1.2.6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8 - \ln (8 - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2.1.2.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.7.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{8 - 8 - \ln (8 - 1 \cdot 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2.1.2.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{8 - 8 - \ln (8 - 7)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2.1.2.7.1.3

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$\frac{8 - 8 - \ln (1)}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2.1.2.7.1.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{8 - 8 - 0}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2.1.2.7.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{8 - 8 + 0}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2.1.2.7.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2.1.2.7.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 8)}$

Schritt 2.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 8} \ln (x - 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 8}$

Schritt 2.1.3.2

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 8} x - 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 8}$

Schritt 2.1.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 8}$

Schritt 2.1.3.4

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 8}$

Schritt 2.1.3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7) \cdot (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8)}$

Schritt 2.1.3.6

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8)}$

Schritt 2.1.3.7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 2.1.3.7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{0}{\ln (8 - 1 \cdot 7) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8)}$

Schritt 2.1.3.7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{0}{\ln (8 - 1 \cdot 7) \cdot (8 - 1 \cdot 8)}$

Schritt 2.1.3.8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{0}{\ln (8 - 7) \cdot (8 - 1 \cdot 8)}$

Schritt 2.1.3.8.2

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$\frac{0}{\ln (1) \cdot (8 - 1 \cdot 8)}$

Schritt 2.1.3.8.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot (8 - 1 \cdot 8)}$

Schritt 2.1.3.8.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{0}{0 \cdot (8 - 8)}$

Schritt 2.1.3.8.5

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Schritt 2.1.3.8.6

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.8.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.3.9

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8 - \ln (x - 7)}{\ln (x - 7) (x - 8)} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x - 8 - \ln (x - 7)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x - 8 - \ln (x - 7)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 8 - \ln (x - 7)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- \ln (x - 7)]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- \ln (x - 7)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [- \ln (x - 7)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x - 7)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.5

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x - 7)]$ .

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Schritt 2.3.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x - 7)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x - 7$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 7$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 7])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.5.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 7])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.5.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 7$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{x - 7} \frac{d}{d x} [x - 7])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{x - 7} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{x - 7} (1 + \frac{d}{d x} [- 7]))}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.5.5

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{x - 7} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.5.6

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{x - 7} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.5.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 7}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0 - \frac{1}{x - 7}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.6

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 - \frac{1}{x - 7}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.6.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 7}{x - 7} - \frac{1}{x - 7}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 7 - 1}{x - 7}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.6.4

Subtrahiere $1$ von $- 7$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 8)]}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \ln (x - 7)$ und $g (x) = x - 8$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Schritt 2.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Schritt 2.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Schritt 2.3.10

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Schritt 2.3.11

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Schritt 2.3.12

Mutltipliziere $\ln (x - 7)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Schritt 2.3.13

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x - 7$ .

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Schritt 2.3.13.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 7$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 7])}$

Schritt 2.3.13.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 7])}$

Schritt 2.3.13.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 7$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) (\frac{1}{x - 7} \frac{d}{d x} [x - 7])}$

Schritt 2.3.14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) \frac{1}{x - 7} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])}$

Schritt 2.3.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) \frac{1}{x - 7} (1 + \frac{d}{d x} [- 7])}$

Schritt 2.3.16

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) \frac{1}{x - 7} (1 + 0)}$

Schritt 2.3.17

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) \frac{1}{x - 7} \cdot 1}$

Schritt 2.3.18

Mutltipliziere $x - 8$ mit $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{\ln (x - 7) + (x - 8) \frac{1}{x - 7}}$

Schritt 2.3.19

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{x - 8}{x - 7}}{(x - 8) \frac{1}{x - 7} + \ln (x - 7)}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{x - 7} \cdot \frac{1}{(x - 8) \frac{1}{x - 7} + \ln (x - 7)}$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $\frac{x - 8}{x - 7}$ mit $\frac{1}{(x - 8) \frac{1}{x - 7} + \ln (x - 7)}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{(x - 7) ((x - 8) \frac{1}{x - 7} + \ln (x - 7))}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $x - 8$ mit $\frac{1}{x - 7}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{(x - 7) (\frac{x - 8}{x - 7} + \ln (x - 7))}$

Schritt 2.7

Vereine die Terme

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Schritt 2.7.1

Um $\ln (x - 7)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{(x - 7) (\frac{x - 8}{x - 7} + \frac{\ln (x - 7) (x - 7)}{x - 7})}$

Schritt 2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{(x - 7) \frac{x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}{x - 7}}$

Schritt 3

Vereinfache das Argument des Grenzwertes

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $x - 7$ mit $\frac{x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}{x - 7}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{\frac{(x - 7) (x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7))}{x - 7}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 7$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{\frac{(x - 7) (x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7))}{x - 7}}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)$ durch $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 8} x - 8}{lim_{x \to 8} x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}$

Schritt 4.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 8} x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}$

Schritt 4.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 8} x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 8} x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}$

Schritt 4.1.2.3.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8 + lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 7)}$

Schritt 4.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 + lim_{x \to 8} \ln (x - 7) (x - 7)}$

Schritt 4.1.3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 + lim_{x \to 8} \ln (x - 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 7}$

Schritt 4.1.3.4

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 + \ln (lim_{x \to 8} x - 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 7}$

Schritt 4.1.3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 + \ln (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 7}$

Schritt 4.1.3.6

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 + \ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7) \cdot lim_{x \to 8} x - 7}$

Schritt 4.1.3.7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 + \ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7) \cdot (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 7)}$

Schritt 4.1.3.8

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8 + \ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7)}$

Schritt 4.1.3.9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1.3.9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8 + \ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7)}$

Schritt 4.1.3.9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8 + \ln (8 - 1 \cdot 7) \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7)}$

Schritt 4.1.3.9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8 + \ln (8 - 1 \cdot 7) \cdot (8 - 1 \cdot 7)}$

Schritt 4.1.3.10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.3.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.10.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{0}{8 - 8 + \ln (8 - 1 \cdot 7) \cdot (8 - 1 \cdot 7)}$

Schritt 4.1.3.10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{0}{8 - 8 + \ln (8 - 7) \cdot (8 - 1 \cdot 7)}$

Schritt 4.1.3.10.1.3

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$\frac{0}{8 - 8 + \ln (1) \cdot (8 - 1 \cdot 7)}$

Schritt 4.1.3.10.1.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{8 - 8 + 0 \cdot (8 - 1 \cdot 7)}$

Schritt 4.1.3.10.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{0}{8 - 8 + 0 \cdot (8 - 7)}$

Schritt 4.1.3.10.1.6

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$\frac{0}{8 - 8 + 0 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3.10.1.7

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$\frac{0}{8 - 8 + 0}$

Schritt 4.1.3.10.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 4.1.3.10.3

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.10.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.11

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to 8} \frac{x - 8}{x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x - 8]}{\frac{d}{d x} [x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x - 8]}{\frac{d}{d x} [x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)]}$

Schritt 4.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)]}$

Schritt 4.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)]}$

Schritt 4.3.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)]}$

Schritt 4.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)]}$

Schritt 4.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 8 + \ln (x - 7) (x - 7)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 7)]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 7)]}$

Schritt 4.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 7)]}$

Schritt 4.3.8

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 7)]}$

Schritt 4.3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (x - 7) (x - 7)]$ .

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Schritt 4.3.9.1

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) \frac{d}{d x} [x - 7] + (x - 7) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Schritt 4.3.9.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x - 7) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Schritt 4.3.9.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x - 7) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Schritt 4.3.9.4

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 7) \frac{d}{d x} [\ln (x - 7)]}$

Schritt 4.3.9.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x - 7$ .

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Schritt 4.3.9.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 7$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 7) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 7])}$

Schritt 4.3.9.5.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 7) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 7])}$

Schritt 4.3.9.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 7$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 7) (\frac{1}{x - 7} \frac{d}{d x} [x - 7])}$

Schritt 4.3.9.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 7) (\frac{1}{x - 7} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]))}$

Schritt 4.3.9.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 7) (\frac{1}{x - 7} (1 + \frac{d}{d x} [- 7]))}$

Schritt 4.3.9.8

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) (1 + 0) + (x - 7) (\frac{1}{x - 7} (1 + 0))}$

Schritt 4.3.9.9

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) \cdot 1 + (x - 7) (\frac{1}{x - 7} (1 + 0))}$

Schritt 4.3.9.10

Mutltipliziere $\ln (x - 7)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) + (x - 7) (\frac{1}{x - 7} (1 + 0))}$

Schritt 4.3.9.11

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) + (x - 7) (\frac{1}{x - 7} \cdot 1)}$

Schritt 4.3.9.12

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 7}$ mit $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 7) + (x - 7) \frac{1}{x - 7}}$

Schritt 4.3.10

Vereinfache.

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Schritt 4.3.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + \ln (x - 7) + (x - 7) \frac{1}{x - 7}}$

Schritt 4.3.10.2

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 8} \frac{1}{(x - 7) \frac{1}{x - 7} + 1 + \ln (x - 7)}$

Schritt 4.3.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 7$ .

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Schritt 4.3.10.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 8} \frac{1}{(x - 7) \frac{1}{x - 7} + 1 + \ln (x - 7)}$

Schritt 4.3.10.3.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 8} \frac{1}{1 + 1 + \ln (x - 7)}$

Schritt 4.3.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{2 + \ln (x - 7)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 2 + \ln (x - 7)}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} 2 + \ln (x - 7)}$

Schritt 5.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \ln (x - 7)}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{2 + lim_{x \to 8} \ln (x - 7)}$

Schritt 5.5

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{1}{2 + \ln (lim_{x \to 8} x - 7)}$

Schritt 5.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{2 + \ln (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 7)}$

Schritt 5.7

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{2 + \ln (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 7)}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{2 + \ln (8 - 1 \cdot 7)}$

Schritt 7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{1}{2 + \ln (8 - 7)}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $7$ von $8$ .

$\frac{1}{2 + \ln (1)}$

Schritt 7.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Schritt 7.4

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{2}$

Dezimalform:

$0.5$