Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{1}{2 x - \sqrt{4 x^{2} - 3 x + 2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 2 x - \sqrt{4 x^{2} - 3 x + 2}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} 2 x - \sqrt{4 x^{2} - 3 x + 2}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - 3 x + 2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2} - 3 x + 2}}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - 3 x + 2}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 2}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 2}}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 2}}$

Schritt 9

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{2 lim_{x \to 8} x - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x + 2}}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8 - \sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} x + 2}}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 3 lim_{x \to 8} x + 2}}$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{2 \cdot 8 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 2}}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{1}{16 - \sqrt{4 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 + 2}}$

Schritt 12.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{1}{16 - \sqrt{4 \cdot 64 - 3 \cdot 8 + 2}}$

Schritt 12.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$\frac{1}{16 - \sqrt{256 - 3 \cdot 8 + 2}}$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$\frac{1}{16 - \sqrt{256 - 24 + 2}}$

Schritt 12.1.5

Subtrahiere $24$ von $256$ .

$\frac{1}{16 - \sqrt{232 + 2}}$

Schritt 12.1.6

Addiere $232$ und $2$ .

$\frac{1}{16 - \sqrt{234}}$

Schritt 12.1.7

Schreibe $234$ als $3^{2} \cdot 26$ um.

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Schritt 12.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $234$ heraus.

$\frac{1}{16 - \sqrt{9 (26)}}$

Schritt 12.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{1}{16 - \sqrt{3^{2} \cdot 26}}$

Schritt 12.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{16 - (3 \sqrt{26})}$

Schritt 12.1.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{16 - 3 \sqrt{26}}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $\frac{1}{16 - 3 \sqrt{26}}$ mit $\frac{16 + 3 \sqrt{26}}{16 + 3 \sqrt{26}}$ .

$\frac{1}{16 - 3 \sqrt{26}} \cdot \frac{16 + 3 \sqrt{26}}{16 + 3 \sqrt{26}}$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $\frac{1}{16 - 3 \sqrt{26}}$ mit $\frac{16 + 3 \sqrt{26}}{16 + 3 \sqrt{26}}$ .

$\frac{16 + 3 \sqrt{26}}{(16 - 3 \sqrt{26}) (16 + 3 \sqrt{26})}$

Schritt 12.4

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{16 + 3 \sqrt{26}}{256 + 48 \sqrt{26} - 48 \sqrt{26} - 9 {\sqrt{26}}^{2}}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

$\frac{16 + 3 \sqrt{26}}{22}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{16 + 3 \sqrt{26}}{22}$

Dezimalform:

$1.42259357 \dots$