Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{x^{9} + 4}{x^{10} - 7}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x^{9} + 4}{lim_{x \to 8} x^{10} - 7}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x^{9} + lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} x^{10} - 7}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $9$ von $x^{9}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{9} + lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} x^{10} - 7}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{9} + 4}{lim_{x \to 8} x^{10} - 7}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{9} + 4}{lim_{x \to 8} x^{10} - lim_{x \to 8} 7}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $10$ von $x^{10}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{9} + 4}{{(lim_{x \to 8} x)}^{10} - lim_{x \to 8} 7}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{9} + 4}{{(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 7}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8^{9} + 4}{{(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 7}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8^{9} + 4}{8^{10} - 1 \cdot 7}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $8$ mit $9$ .

$\frac{134217728 + 4}{8^{10} - 1 \cdot 7}$

Schritt 9.1.2

Addiere $134217728$ und $4$ .

$\frac{134217732}{8^{10} - 1 \cdot 7}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Potenziere $8$ mit $10$ .

$\frac{134217732}{1073741824 - 1 \cdot 7}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{134217732}{1073741824 - 7}$

Schritt 9.2.3

Subtrahiere $7$ von $1073741824$ .

$\frac{134217732}{1073741817}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $134217732$ und $1073741817$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $3$ aus $134217732$ heraus.

$\frac{3 (44739244)}{1073741817}$

Schritt 9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $1073741817$ heraus.

$\frac{3 \cdot 44739244}{3 \cdot 357913939}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 44739244}{3 \cdot 357913939}$

Schritt 9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{44739244}{357913939}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{44739244}{357913939}$

Dezimalform:

$0.12500000 \dots$