Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt[3]{x}}{p} + \frac{x^{3}}{\sqrt{x + 44}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt[3]{x}}{p} + lim_{x \to - 8} \frac{x^{3}}{\sqrt{x + 44}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{1}{p}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{p} lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x} + lim_{x \to - 8} \frac{x^{3}}{\sqrt{x + 44}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{p} \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x} + lim_{x \to - 8} \frac{x^{3}}{\sqrt{x + 44}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{1}{p} \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x} + \frac{lim_{x \to - 8} x^{3}}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x + 44}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{p} \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x} + \frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3}}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x + 44}}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{p} \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x} + \frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3}}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x + 44}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{1}{p} \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x} + \frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3}}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 44}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $44$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{1}{p} \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x} + \frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3}}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x + 44}}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{1}{p} \sqrt[3]{- 8} + \frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3}}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x + 44}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{1}{p} \sqrt[3]{- 8} + \frac{{(- 8)}^{3}}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x + 44}}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{1}{p} \sqrt[3]{- 8} + \frac{{(- 8)}^{3}}{\sqrt{- 8 + 44}}$

Schritt 10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1

Schreibe $- 8$ als ${(- 2)}^{3}$ um.

$\frac{1}{p} \sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} + \frac{{(- 8)}^{3}}{\sqrt{- 8 + 44}}$

Schritt 10.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{1}{p} \cdot - 2 + \frac{{(- 8)}^{3}}{\sqrt{- 8 + 44}}$

Schritt 10.3

Kombiniere $\frac{1}{p}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{p} + \frac{{(- 8)}^{3}}{\sqrt{- 8 + 44}}$

Schritt 10.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{p} + \frac{{(- 8)}^{3}}{\sqrt{- 8 + 44}}$

Schritt 10.5

Potenziere $- 8$ mit $3$ .

$- \frac{2}{p} + \frac{- 512}{\sqrt{- 8 + 44}}$

Schritt 10.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.6.1

Addiere $- 8$ und $44$ .

$- \frac{2}{p} + \frac{- 512}{\sqrt{36}}$

Schritt 10.6.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$- \frac{2}{p} + \frac{- 512}{\sqrt{6^{2}}}$

Schritt 10.6.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{2}{p} + \frac{- 512}{6}$

Schritt 10.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 512$ und $6$ .

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Schritt 10.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 512$ heraus.

$- \frac{2}{p} + \frac{2 (- 256)}{6}$

Schritt 10.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{2}{p} + \frac{2 \cdot - 256}{2 \cdot 3}$

Schritt 10.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{p} + \frac{2 \cdot - 256}{2 \cdot 3}$

Schritt 10.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{p} + \frac{- 256}{3}$

Schritt 10.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{p} - \frac{256}{3}$