Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{81 x^{2} - 2}}{6 - 3 x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{81 x^{2} - 2}}{lim_{x \to 8} 6 - 3 x^{2}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 81 x^{2} - 2}}{lim_{x \to 8} 6 - 3 x^{2}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 81 x^{2} - lim_{x \to 8} 2}}{lim_{x \to 8} 6 - 3 x^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $81$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{81 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 2}}{lim_{x \to 8} 6 - 3 x^{2}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 2}}{lim_{x \to 8} 6 - 3 x^{2}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 2}}{lim_{x \to 8} 6 - 3 x^{2}}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 2}}{lim_{x \to 8} 6 - lim_{x \to 8} 3 x^{2}}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 2}}{6 - lim_{x \to 8} 3 x^{2}}$

Schritt 9

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 2}}{6 - 3 lim_{x \to 8} x^{2}}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt{81 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 2}}{6 - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{81 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2}}{6 - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{81 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2}}{6 - 3 \cdot 8^{2}}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{81 \cdot 64 - 1 \cdot 2}}{6 - 3 \cdot 8^{2}}$

Schritt 12.1.2

Mutltipliziere $81$ mit $64$ .

$\frac{\sqrt{5184 - 1 \cdot 2}}{6 - 3 \cdot 8^{2}}$

Schritt 12.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{5184 - 2}}{6 - 3 \cdot 8^{2}}$

Schritt 12.1.4

Subtrahiere $2$ von $5184$ .

$\frac{\sqrt{5182}}{6 - 3 \cdot 8^{2}}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{5182}}{6 - 3 \cdot 64}$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $64$ .

$\frac{\sqrt{5182}}{6 - 192}$

Schritt 12.2.3

Subtrahiere $192$ von $6$ .

$\frac{\sqrt{5182}}{- 186}$

Schritt 12.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{5182}}{186}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{5182}}{186}$

Dezimalform:

$- 0.38702209 \dots$