Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x^{2} + 7}{x - 5} + \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$lim_{x \to - 8} \frac{2 x^{2} + 7}{x - 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} 2 x^{2} + lim_{x \to - 8} 7}{lim_{x \to - 8} x - 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 7}{lim_{x \to - 8} x - 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 7}{lim_{x \to - 8} x - 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - lim_{x \to - 8} 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + lim_{x \to - 8} \frac{3 - 4 x^{2}}{2 x + 7}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{lim_{x \to - 8} 3 - 4 x^{2}}{lim_{x \to - 8} 2 x + 7}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{lim_{x \to - 8} 3 - lim_{x \to - 8} 4 x^{2}}{lim_{x \to - 8} 2 x + 7}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{3 - lim_{x \to - 8} 4 x^{2}}{lim_{x \to - 8} 2 x + 7}$

Schritt 12

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 lim_{x \to - 8} x^{2}}{lim_{x \to - 8} 2 x + 7}$

Schritt 13

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}{lim_{x \to - 8} 2 x + 7}$

Schritt 14

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}{lim_{x \to - 8} 2 x + lim_{x \to - 8} 7}$

Schritt 15

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}{2 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} 7}$

Schritt 16

Berechne den Grenzwert von $7$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}{2 lim_{x \to - 8} x + 7}$

Schritt 17

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 17.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 7}{lim_{x \to - 8} x - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}{2 lim_{x \to - 8} x + 7}$

Schritt 17.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 7}{- 8 - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}{2 lim_{x \to - 8} x + 7}$

Schritt 17.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 7}{- 8 - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 lim_{x \to - 8} x + 7}$

Schritt 17.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{2 {(- 8)}^{2} + 7}{- 8 - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 \cdot - 8 + 7}$

Schritt 18

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 18.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.1.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 + 7}{- 8 - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 \cdot - 8 + 7}$

Schritt 18.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{128 + 7}{- 8 - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 \cdot - 8 + 7}$

Schritt 18.1.1.3

Addiere $128$ und $7$ .

$\frac{135}{- 8 - 1 \cdot 5} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 \cdot - 8 + 7}$

Schritt 18.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 18.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{135}{- 8 - 5} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 \cdot - 8 + 7}$

Schritt 18.1.2.2

Subtrahiere $5$ von $- 8$ .

$\frac{135}{- 13} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 \cdot - 8 + 7}$

Schritt 18.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{135}{13} + \frac{3 - 4 {(- 8)}^{2}}{2 \cdot - 8 + 7}$

Schritt 18.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.1.4.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$- \frac{135}{13} + \frac{3 - 4 \cdot 64}{2 \cdot - 8 + 7}$

Schritt 18.1.4.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$- \frac{135}{13} + \frac{3 - 256}{2 \cdot - 8 + 7}$

Schritt 18.1.4.3

Subtrahiere $256$ von $3$ .

$- \frac{135}{13} + \frac{- 253}{2 \cdot - 8 + 7}$

Schritt 18.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 18.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$- \frac{135}{13} + \frac{- 253}{- 16 + 7}$

Schritt 18.1.5.2

Addiere $- 16$ und $7$ .

$- \frac{135}{13} + \frac{- 253}{- 9}$

Schritt 18.1.6

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$- \frac{135}{13} + \frac{253}{9}$

Schritt 18.2

Um $- \frac{135}{13}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{135}{13} \cdot \frac{9}{9} + \frac{253}{9}$

Schritt 18.3

Um $\frac{253}{9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{135}{13} \cdot \frac{9}{9} + \frac{253}{9} \cdot \frac{13}{13}$

Schritt 18.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $117$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 18.4.1

Mutltipliziere $\frac{135}{13}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{135 \cdot 9}{13 \cdot 9} + \frac{253}{9} \cdot \frac{13}{13}$

Schritt 18.4.2

Mutltipliziere $13$ mit $9$ .

$- \frac{135 \cdot 9}{117} + \frac{253}{9} \cdot \frac{13}{13}$

Schritt 18.4.3

Mutltipliziere $\frac{253}{9}$ mit $\frac{13}{13}$ .

$- \frac{135 \cdot 9}{117} + \frac{253 \cdot 13}{9 \cdot 13}$

Schritt 18.4.4

Mutltipliziere $9$ mit $13$ .

$- \frac{135 \cdot 9}{117} + \frac{253 \cdot 13}{117}$

Schritt 18.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 135 \cdot 9 + 253 \cdot 13}{117}$

Schritt 18.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.6.1

Mutltipliziere $- 135$ mit $9$ .

$\frac{- 1215 + 253 \cdot 13}{117}$

Schritt 18.6.2

Mutltipliziere $253$ mit $13$ .

$\frac{- 1215 + 3289}{117}$

Schritt 18.6.3

Addiere $- 1215$ und $3289$ .

$\frac{2074}{117}$

Schritt 19

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2074}{117}$

Dezimalform:

$17.72649572 \dots$