Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{1 - 2 x^{3}}{x + 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - 2 x^{3}}{lim_{x \to 8} x + 1}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} 2 x^{3}}{lim_{x \to 8} x + 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 8} 2 x^{3}}{lim_{x \to 8} x + 1}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - 2 lim_{x \to 8} x^{3}}{lim_{x \to 8} x + 1}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1 - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x + 1}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1 - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1 - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} x + 1}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 8^{3}}{lim_{x \to 8} x + 1}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 8^{3}}{8 + 1}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{1 - 2 \cdot 512}{8 + 1}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $512$ .

$\frac{1 - 1024}{8 + 1}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $1024$ von $1$ .

$\frac{- 1023}{8 + 1}$

Schritt 9.2

Addiere $8$ und $1$ .

$\frac{- 1023}{9}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1023$ und $9$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 1023$ heraus.

$\frac{3 (- 341)}{9}$

Schritt 9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 341}{3 \cdot 3}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 341}{3 \cdot 3}$

Schritt 9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 341}{3}$

Schritt 9.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{341}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{341}{3}$

Dezimalform:

$- 113.\overline{6}$