Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{32 x^{4} - x^{3} + x + 12}{8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 32 x^{4} - x^{3} + x + 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 32 x^{4} - lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Schritt 3

Ziehe den Term $32$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{32 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + 2 x^{3} + x^{2} + 5 x + 2}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{lim_{x \to 8} 8 x^{4} + lim_{x \to 8} 2 x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 8

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 2 x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 2 x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 10

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 12

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 13

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 14

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 15

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 15.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + lim_{x \to 8} x + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 15.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + 8 + 12}{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 15.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 15.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 15.6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 15.7

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{32 \cdot 8^{4} - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Schritt 16

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 16.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.1.1

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{32 \cdot 4096 - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Schritt 16.1.2

Mutltipliziere $32$ mit $4096$ .

$\frac{131072 - 8^{3} + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Schritt 16.1.3

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{131072 - 1 \cdot 512 + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Schritt 16.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $512$ .

$\frac{131072 - 512 + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Schritt 16.1.5

Subtrahiere $512$ von $131072$ .

$\frac{130560 + 8 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Schritt 16.1.6

Addiere $130560$ und $8$ .

$\frac{130568 + 12}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Schritt 16.1.7

Addiere $130568$ und $12$ .

$\frac{130580}{8 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Schritt 16.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.2.1

Multipliziere $8$ mit $8^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8^{4}$ .

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Schritt 16.2.1.1.1

Potenziere $8$ mit $1$ .

$\frac{130580}{8^{1} \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Schritt 16.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{130580}{8^{1 + 4} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Schritt 16.2.1.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{130580}{8^{5} + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Schritt 16.2.2

Potenziere $8$ mit $5$ .

$\frac{130580}{32768 + 2 \cdot 8^{3} + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Schritt 16.2.3

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{130580}{32768 + 2 \cdot 512 + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Schritt 16.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $512$ .

$\frac{130580}{32768 + 1024 + 8^{2} + 5 \cdot 8 + 2}$

Schritt 16.2.5

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{130580}{32768 + 1024 + 64 + 5 \cdot 8 + 2}$

Schritt 16.2.6

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$\frac{130580}{32768 + 1024 + 64 + 40 + 2}$

Schritt 16.2.7

Addiere $32768$ und $1024$ .

$\frac{130580}{33792 + 64 + 40 + 2}$

Schritt 16.2.8

Addiere $33792$ und $64$ .

$\frac{130580}{33856 + 40 + 2}$

Schritt 16.2.9

Addiere $33856$ und $40$ .

$\frac{130580}{33896 + 2}$

Schritt 16.2.10

Addiere $33896$ und $2$ .

$\frac{130580}{33898}$

Schritt 16.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $130580$ und $33898$ .

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Schritt 16.3.1

Faktorisiere $2$ aus $130580$ heraus.

$\frac{2 (65290)}{33898}$

Schritt 16.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 16.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $33898$ heraus.

$\frac{2 \cdot 65290}{2 \cdot 16949}$

Schritt 16.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 65290}{2 \cdot 16949}$

Schritt 16.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{65290}{16949}$

Schritt 17

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{65290}{16949}$

Dezimalform:

$3.85214466 \dots$