Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{{(- 3)}^{x - 1}}{\sqrt{x}}}$

Schritt 1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{{(- 3)}^{x - 1}}{\sqrt{x}}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} {(- 3)}^{x - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{8 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8}}}$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{8 - 1}}{\sqrt{8}}}$

Schritt 8.1.2

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{7}}{\sqrt{8}}}$

Schritt 8.1.3

Potenziere $- 3$ mit $7$ .

$\sqrt{\frac{- 2187}{\sqrt{8}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 8.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt{\frac{- 2187}{\sqrt{4 (2)}}}$

Schritt 8.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{\frac{- 2187}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}}$

Schritt 8.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{\frac{- 2187}{2 \sqrt{2}}}$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{- \frac{2187}{2 \sqrt{2}}}$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $\frac{2187}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{- (\frac{2187}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}$

Schritt 8.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.5.1

Mutltipliziere $\frac{2187}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Schritt 8.5.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}}$

Schritt 8.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}$

Schritt 8.5.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}$

Schritt 8.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Schritt 8.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}}$

Schritt 8.5.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Schritt 8.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Schritt 8.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 8.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}}$

Schritt 8.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}}$

Schritt 8.5.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{- \frac{2187 \sqrt{2}}{4}}$

Schritt 8.7

Schreibe $- \frac{2187 \sqrt{2}}{4}$ als ${(\frac{27 i}{2})}^{2} \cdot (3 \sqrt{2})$ um.

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Schritt 8.7.1

Schreibe $- 1$ als $i^{2}$ um.

$\sqrt{i^{2} \frac{2187 \sqrt{2}}{4}}$

Schritt 8.7.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $27^{2}$ aus $2187 \sqrt{2}$ heraus.

$\sqrt{i^{2} \frac{27^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{4}}$

Schritt 8.7.3

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{i^{2} \frac{27^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 8.7.4

Ordne den Bruch $\frac{27^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{i^{2} ({(\frac{27}{2})}^{2} (3 \sqrt{2}))}$

Schritt 8.7.5

Schreibe $i^{2} {(\frac{27}{2})}^{2}$ als ${(\frac{27 i}{2})}^{2}$ um.

$\sqrt{{(\frac{27 i}{2})}^{2} \cdot 3 \sqrt{2}}$

Schritt 8.7.6

Füge Klammern hinzu.

$\sqrt{{(\frac{27 i}{2})}^{2} \cdot (3 \sqrt{2})}$

Schritt 8.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{27 i}{2} \sqrt{3 \sqrt{2}}$

Schritt 8.9

Kombiniere $\frac{27 i}{2}$ und $\sqrt{3 \sqrt{2}}$ .

$\frac{27 i \sqrt{3 \sqrt{2}}}{2}$