Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{4} + 9 x^{3}} - 2 x^{2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{4} + 9 x^{3}} - lim_{x \to 8} 2 x^{2}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{4} + 9 x^{3}} - lim_{x \to 8} 2 x^{2}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{4} + lim_{x \to 8} 9 x^{3}} - lim_{x \to 8} 2 x^{2}$

Schritt 4

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 9 x^{3}} - lim_{x \to 8} 2 x^{2}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 9 x^{3}} - lim_{x \to 8} 2 x^{2}$

Schritt 6

Ziehe den Term $9$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 lim_{x \to 8} x^{3}} - lim_{x \to 8} 2 x^{2}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}} - lim_{x \to 8} 2 x^{2}$

Schritt 8

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}} - 2 lim_{x \to 8} x^{2}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}} - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 9 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}} - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{3}} - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\sqrt{4 \cdot 8^{4} + 9 \cdot 8^{3}} - 2 \cdot 8^{2}$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\sqrt{4 \cdot 4096 + 9 \cdot 8^{3}} - 2 \cdot 8^{2}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $4$ mit $4096$ .

$\sqrt{16384 + 9 \cdot 8^{3}} - 2 \cdot 8^{2}$

Schritt 11.3

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\sqrt{16384 + 9 \cdot 512} - 2 \cdot 8^{2}$

Schritt 11.4

Mutltipliziere $9$ mit $512$ .

$\sqrt{16384 + 4608} - 2 \cdot 8^{2}$

Schritt 11.5

Addiere $16384$ und $4608$ .

$\sqrt{20992} - 2 \cdot 8^{2}$

Schritt 11.6

Schreibe $20992$ als $16^{2} \cdot 82$ um.

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Schritt 11.6.1

Faktorisiere $256$ aus $20992$ heraus.

$\sqrt{256 (82)} - 2 \cdot 8^{2}$

Schritt 11.6.2

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$\sqrt{16^{2} \cdot 82} - 2 \cdot 8^{2}$

Schritt 11.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$16 \sqrt{82} - 2 \cdot 8^{2}$

Schritt 11.8

Potenziere $8$ mit $2$ .

$16 \sqrt{82} - 2 \cdot 64$

Schritt 11.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $64$ .

$16 \sqrt{82} - 128$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$16 \sqrt{82} - 128$

Dezimalform:

$16.88616221 \dots$