Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} (\frac{x}{6}) \cdot (e^{\frac{2}{x}} - 1)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \frac{x}{6} \cdot lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x}} - 1$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{1}{6}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x}} - 1$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x}} - lim_{x \to 8} 1)$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x}} - lim_{x \to 8} 1)$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (e^{2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x}} - lim_{x \to 8} 1)$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (e^{2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}} - lim_{x \to 8} 1)$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - lim_{x \to 8} 1)$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 8} x \cdot (e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 8 \cdot (e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x}} - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 8 \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{2 (3)} \cdot 8 \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 4) \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 4) \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $4$ .

$\frac{4}{3} \cdot (e^{2 (\frac{1}{8})} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{4}{3} \cdot (e^{2 \frac{1}{2 (4)}} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{3} \cdot (e^{2 \frac{1}{2 \cdot 4}} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{3} \cdot (e^{\frac{1}{4}} - 1 \cdot 1)$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4}{3} \cdot (e^{\frac{1}{4}} - 1)$

Schritt 10.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{3} e^{\frac{1}{4}} + \frac{4}{3} \cdot - 1$

Schritt 10.5

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $e^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{4 e^{\frac{1}{4}}}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 1$

Schritt 10.6

Multipliziere $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Schritt 10.6.1

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $- 1$ .

$\frac{4 e^{\frac{1}{4}}}{3} + \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Schritt 10.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{4 e^{\frac{1}{4}}}{3} + \frac{- 4}{3}$

Schritt 10.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 e^{\frac{1}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4 e^{\frac{1}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

Dezimalform:

$0.37870055 \dots$