Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} e^{- 2 x} \sqrt{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} e^{- 2 x} \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 8} - 2 x} \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}$

Schritt 3

Ziehe den Term $- 2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{- 2 lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$e^{- 2 lim_{x \to 8} x} \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{- 2 \cdot 8} \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{- 2 \cdot 8} \cdot \sqrt{8}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$e^{- 16} \cdot \sqrt{8}$

Schritt 6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{16}} \cdot \sqrt{8}$

Schritt 6.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{e^{16}} \cdot \sqrt{4 (2)}$

Schritt 6.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{e^{16}} \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 6.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{e^{16}} \cdot (2 \sqrt{2})$

Schritt 6.5

Multipliziere $\frac{1}{e^{16}} (2 \sqrt{2})$ .

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Schritt 6.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{e^{16}}$ .

$\frac{2}{e^{16}} \sqrt{2}$

Schritt 6.5.2

Kombiniere $\frac{2}{e^{16}}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{e^{16}}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2 \sqrt{2}}{e^{16}}$

Dezimalform:

$3.1829754 \cdot 10^{- 7}$