Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\cos (\sqrt{x})}{x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \cos (\sqrt{x})}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 8} \sqrt{x})}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\cos (\sqrt{lim_{x \to 8} x})}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\cos (\sqrt{8})}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\cos (\sqrt{8})}{8}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\cos (\sqrt{4 (2)})}{8}$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\cos (\sqrt{2^{2} \cdot 2})}{8}$

Schritt 5.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\cos (2 \sqrt{2})}{8}$

Schritt 5.1.3

Berechne $\cos (2 \sqrt{2})$ .

$\frac{- 0.95136312}{8}$

Schritt 5.2

Dividiere $- 0.95136312$ durch $8$ .

$- 0.11892039$