Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{24 - x}} - \frac{2}{4}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{24 - x}} - \frac{2 (1)}{4}$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{24 - x}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{24 - x}} - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{24 - x}} - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{12 - x}}{\sqrt{24 - x}} - lim_{x \to 8} \frac{1}{2}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{12 - x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x}} - lim_{x \to 8} \frac{1}{2}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x}} - lim_{x \to 8} \frac{1}{2}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 12 - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x}} - lim_{x \to 8} \frac{1}{2}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \sqrt{24 - x}} - lim_{x \to 8} \frac{1}{2}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - x}} - lim_{x \to 8} \frac{1}{2}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 24 - lim_{x \to 8} x}} - lim_{x \to 8} \frac{1}{2}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $24$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}} - lim_{x \to 8} \frac{1}{2}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{\sqrt{12 - lim_{x \to 8} x}}{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}} - \frac{1}{2}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{12 - 8}}{\sqrt{24 - lim_{x \to 8} x}} - \frac{1}{2}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt{12 - 8}}{\sqrt{24 - 8}} - \frac{1}{2}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Subtrahiere $8$ von $12$ .

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{24 - 8}} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1

Vereinige $\sqrt{4}$ und $\sqrt{24 - 8}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\sqrt{\frac{4}{24 - 8}} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $8$ von $24$ .

$\sqrt{\frac{4}{16}} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 12.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{\frac{4 (1)}{16}} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{4}} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.2.4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.2.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.2.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{\sqrt{2^{2}}} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.2.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 1}{2}$

Schritt 12.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{2}$

Schritt 12.5

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0$