Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{2} - 16}{\sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Schritt 3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - \sqrt{x^{4} + 16}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Schritt 10

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 8} x^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - lim_{x \to 8} \sqrt{x^{4} + 16}}$

Schritt 12

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + 16}}$

Schritt 13

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

Schritt 14

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 16}}$

Schritt 15

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Schritt 16

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 16.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Schritt 16.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Schritt 16.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 16}}$

Schritt 16.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Schritt 17

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 17.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{4 \cdot 64 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Schritt 17.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$\frac{256 - 1 \cdot 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Schritt 17.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$\frac{256 - 16}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Schritt 17.1.4

Subtrahiere $16$ von $256$ .

$\frac{240}{\sqrt{8^{4} + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Schritt 17.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 17.2.1

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 8^{2}} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Schritt 17.2.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 4 \cdot 64} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Schritt 17.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$\frac{240}{\sqrt{4096 + 256} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Schritt 17.2.4

Addiere $4096$ und $256$ .

$\frac{240}{\sqrt{4352} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Schritt 17.2.5

Schreibe $4352$ als $16^{2} \cdot 17$ um.

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Schritt 17.2.5.1

Faktorisiere $256$ aus $4352$ heraus.

$\frac{240}{\sqrt{256 (17)} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Schritt 17.2.5.2

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$\frac{240}{\sqrt{16^{2} \cdot 17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Schritt 17.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{8^{4} + 16}}$

Schritt 17.2.7

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4096 + 16}}$

Schritt 17.2.8

Addiere $4096$ und $16$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4112}}$

Schritt 17.2.9

Schreibe $4112$ als $4^{2} \cdot 257$ um.

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Schritt 17.2.9.1

Faktorisiere $16$ aus $4112$ heraus.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{16 (257)}}$

Schritt 17.2.9.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - \sqrt{4^{2} \cdot 257}}$

Schritt 17.2.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - (4 \sqrt{257})}$

Schritt 17.2.11

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{240}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

Schritt 17.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $240$ und $16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}$ .

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Schritt 17.3.1

Faktorisiere $4$ aus $240$ heraus.

$\frac{4 (60)}{16 \sqrt{17} - 4 \sqrt{257}}$

Schritt 17.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16 \sqrt{17}$ heraus.

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) - 4 \sqrt{257}}$

Schritt 17.3.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{257}$ heraus.

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})}$

Schritt 17.3.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 \sqrt{17}) + 4 (- \sqrt{257})$ heraus.

$\frac{4 (60)}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

Schritt 17.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 60}{4 (4 \sqrt{17} - \sqrt{257})}$

Schritt 17.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$

Schritt 17.4

Mutltipliziere $\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ mit $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ .

$\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}} \cdot \frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$

Schritt 17.5

Mutltipliziere $\frac{60}{4 \sqrt{17} - \sqrt{257}}$ mit $\frac{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}{4 \sqrt{17} + \sqrt{257}}$ .

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{(4 \sqrt{17} - \sqrt{257}) (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}$

Schritt 17.6

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{16 {\sqrt{17}}^{2} + 4 \sqrt{4369} - 4 \sqrt{4369} - {\sqrt{257}}^{2}}$

Schritt 17.7

Vereinfache.

$\frac{60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{15}$

Schritt 17.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $60$ und $15$ .

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Schritt 17.8.1

Faktorisiere $15$ aus $60 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ heraus.

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15}$

Schritt 17.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.8.2.1

Faktorisiere $15$ aus $15$ heraus.

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 (1)}$

Schritt 17.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 (4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257}))}{15 \cdot 1}$

Schritt 17.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})}{1}$

Schritt 17.8.2.4

Dividiere $4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$ durch $1$ .

$4 (4 \sqrt{17} + \sqrt{257})$

Schritt 17.9

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (4 \sqrt{17}) + 4 \sqrt{257}$

Schritt 17.10

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$16 \sqrt{17} + 4 \sqrt{257}$

Dezimalform:

$130.09456817 \dots$