Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{6 x^{3} + 3 x^{2} \cdot (8 x) + 8}{2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x^{3} + 3 x^{2} \cdot (8 x) + 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 6 x^{3} + lim_{x \to 8} 3 x^{2} \cdot (8 x) + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

Schritt 3

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 3 x^{2} \cdot (8 x) + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 3 x^{2} \cdot (8 x) + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

Schritt 5

Ziehe den Term $3 \cdot 8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 lim_{x \to 8} x^{2} x + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 lim_{x \to 8} x^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + 2}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 10 x + lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 10

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{2 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 10 x + lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 11

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 10 x + lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 12

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 10 x + lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 13

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 10 x + lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 14

Ziehe den Term $10$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}$

Schritt 15

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 16

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 16.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{6 \cdot 8^{3} + 3 \cdot 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 16.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{6 \cdot 8^{3} + 3 \cdot 8 \cdot 8^{2} \cdot lim_{x \to 8} x + 8}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 16.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{6 \cdot 8^{3} + 3 \cdot 8 \cdot 8^{2} \cdot 8 + 8}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 16.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{6 \cdot 8^{3} + 3 \cdot 8 \cdot 8^{2} \cdot 8 + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 10 lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 16.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{6 \cdot 8^{3} + 3 \cdot 8 \cdot 8^{2} \cdot 8 + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 lim_{x \to 8} x + 2}$

Schritt 16.6

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{6 \cdot 8^{3} + 3 \cdot 8 \cdot 8^{2} \cdot 8 + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 17.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 17.1.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{6 \cdot 512 + 3 \cdot 8 \cdot 8^{2} \cdot 8 + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $512$ .

$\frac{3072 + 3 \cdot 8 \cdot 8^{2} \cdot 8 + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.1.3

Multipliziere $8$ mit $8^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 17.1.3.1

Bewege $8^{2}$ .

$\frac{3072 + 3 \cdot (8^{2} \cdot 8) \cdot 8 + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.1.3.2

Mutltipliziere $8^{2}$ mit $8$ .

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Schritt 17.1.3.2.1

Potenziere $8$ mit $1$ .

$\frac{3072 + 3 \cdot (8^{2} \cdot 8^{1}) \cdot 8 + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3072 + 3 \cdot 8^{2 + 1} \cdot 8 + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.1.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{3072 + 3 \cdot 8^{3} \cdot 8 + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.1.4

Multipliziere $8^{3}$ mit $8$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 17.1.4.1

Bewege $8$ .

$\frac{3072 + 3 \cdot (8 \cdot 8^{3}) + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.1.4.2

Mutltipliziere $8$ mit $8^{3}$ .

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Schritt 17.1.4.2.1

Potenziere $8$ mit $1$ .

$\frac{3072 + 3 \cdot (8^{1} \cdot 8^{3}) + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3072 + 3 \cdot 8^{1 + 3} + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.1.4.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{3072 + 3 \cdot 8^{4} + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.1.5

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{3072 + 3 \cdot 4096 + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $4096$ .

$\frac{3072 + 12288 + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.1.7

Addiere $3072$ und $12288$ .

$\frac{15360 + 8}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.1.8

Addiere $15360$ und $8$ .

$\frac{15368}{2 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 17.2.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{15368}{2 \cdot 512 - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $512$ .

$\frac{15368}{1024 - 3 \cdot 8^{2} - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.2.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{15368}{1024 - 3 \cdot 64 - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $64$ .

$\frac{15368}{1024 - 192 - 10 \cdot 8 + 2}$

Schritt 17.2.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $8$ .

$\frac{15368}{1024 - 192 - 80 + 2}$

Schritt 17.2.6

Subtrahiere $192$ von $1024$ .

$\frac{15368}{832 - 80 + 2}$

Schritt 17.2.7

Subtrahiere $80$ von $832$ .

$\frac{15368}{752 + 2}$

Schritt 17.2.8

Addiere $752$ und $2$ .

$\frac{15368}{754}$

Schritt 17.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15368$ und $754$ .

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Schritt 17.3.1

Faktorisiere $2$ aus $15368$ heraus.

$\frac{2 (7684)}{754}$

Schritt 17.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $754$ heraus.

$\frac{2 \cdot 7684}{2 \cdot 377}$

Schritt 17.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 7684}{2 \cdot 377}$

Schritt 17.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7684}{377}$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{7684}{377}$

Dezimalform:

$20.38196286 \dots$