Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{5 x}{x - 1} - \frac{5}{\ln (x)}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \frac{5 x}{x - 1} - lim_{x \to 8} \frac{5}{\ln (x)}$

Schritt 2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 lim_{x \to 8} \frac{x}{x - 1} - lim_{x \to 8} \frac{5}{\ln (x)}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$5 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1} - lim_{x \to 8} \frac{5}{\ln (x)}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$5 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1} - lim_{x \to 8} \frac{5}{\ln (x)}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$5 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1} - lim_{x \to 8} \frac{5}{\ln (x)}$

Schritt 6

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$5 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1} - 5 lim_{x \to 8} \frac{1}{\ln (x)}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$5 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1} - 5 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$5 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1} - 5 \frac{1}{lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$5 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1} - 5 \frac{1}{\ln (lim_{x \to 8} x)}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$5 \frac{8}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1} - 5 \frac{1}{\ln (lim_{x \to 8} x)}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$5 \frac{8}{8 - 1 \cdot 1} - 5 \frac{1}{\ln (lim_{x \to 8} x)}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$5 \frac{8}{8 - 1 \cdot 1} - 5 \frac{1}{\ln (8)}$

Schritt 11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 \frac{8}{8 - 1} - 5 \frac{1}{\ln (8)}$

Schritt 11.1.2

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$5 (\frac{8}{7}) - 5 \frac{1}{\ln (8)}$

Schritt 11.2

Multipliziere $5 (\frac{8}{7})$ .

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{8}{7}$ .

$\frac{5 \cdot 8}{7} - 5 \frac{1}{\ln (8)}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$\frac{40}{7} - 5 \frac{1}{\ln (8)}$

Schritt 11.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{\ln (8)}$ .

$\frac{40}{7} + \frac{- 5}{\ln (8)}$

Schritt 11.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{40}{7} - \frac{5}{\ln (8)}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{40}{7} - \frac{5}{\ln (8)}$

Dezimalform:

$3.30979397 \dots$