Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{5 - 2 x^{\frac{3}{2}}}{3 x^{2} - 4}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 5 - 2 x^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - 4}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 5 - lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - 4}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{5 - lim_{x \to 8} 2 x^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - 4}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 - 2 lim_{x \to 8} x^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - 4}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $\frac{3}{2}$ von $x^{\frac{3}{2}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - 4}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{5 - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

Schritt 7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{3 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{5 - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 4}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{5 - 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{3}{2}}}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{5 - 2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{5 - 2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Multipliziere $- 2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 11.1.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{5 - (2 \cdot 8^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 11.1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{5 - (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 11.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 11.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 - (2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})})}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 11.1.3.2

Multipliziere $3 (\frac{3}{2})$ .

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Schritt 11.1.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{5 - (2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}})}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 11.1.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{5 - (2 \cdot 2^{\frac{9}{2}})}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 11.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 - 2^{1 + \frac{9}{2}}}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 11.1.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 11.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 - 2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 11.1.7

Addiere $2$ und $9$ .

$\frac{5 - 2^{\frac{11}{2}}}{3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{5 - 2^{\frac{11}{2}}}{3 \cdot 64 - 1 \cdot 4}$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$\frac{5 - 2^{\frac{11}{2}}}{192 - 1 \cdot 4}$

Schritt 11.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{5 - 2^{\frac{11}{2}}}{192 - 4}$

Schritt 11.2.4

Subtrahiere $4$ von $192$ .

$\frac{5 - 2^{\frac{11}{2}}}{188}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5 - 2^{\frac{11}{2}}}{188}$

Dezimalform:

$- 0.21412145 \dots$