Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} 7 x + 6 - 2 x^{3} \div 3 + 14 x + x^{2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} 7 x + lim_{x \to 8} 6 - lim_{x \to 8} 2 x^{3} \div 3 + lim_{x \to 8} 14 x + lim_{x \to 8} x^{2}$

Schritt 2

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$7 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 6 - lim_{x \to 8} 2 x^{3} \div 3 + lim_{x \to 8} 14 x + lim_{x \to 8} x^{2}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$7 lim_{x \to 8} x + 6 - lim_{x \to 8} 2 x^{3} \div 3 + lim_{x \to 8} 14 x + lim_{x \to 8} x^{2}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{2}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$7 lim_{x \to 8} x + 6 - \frac{2}{3} lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 14 x + lim_{x \to 8} x^{2}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$7 lim_{x \to 8} x + 6 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 14 x + lim_{x \to 8} x^{2}$

Schritt 6

Ziehe den Term $14$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$7 lim_{x \to 8} x + 6 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 14 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} x^{2}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$7 lim_{x \to 8} x + 6 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 14 lim_{x \to 8} x + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$7 \cdot 8 + 6 - \frac{2}{3} {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 14 lim_{x \to 8} x + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$7 \cdot 8 + 6 - \frac{2}{3} \cdot 8^{3} + 14 lim_{x \to 8} x + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$7 \cdot 8 + 6 - \frac{2}{3} \cdot 8^{3} + 14 \cdot 8 + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Schritt 8.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$7 \cdot 8 + 6 - \frac{2}{3} \cdot 8^{3} + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$56 + 6 - \frac{2}{3} \cdot 8^{3} + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

Schritt 9.1.2

Potenziere $8$ mit $3$ .

$56 + 6 - \frac{2}{3} \cdot 512 + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

Schritt 9.1.3

Multipliziere $- \frac{2}{3} \cdot 512$ .

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Schritt 9.1.3.1

Mutltipliziere $512$ mit $- 1$ .

$56 + 6 - 512 (\frac{2}{3}) + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

Schritt 9.1.3.2

Kombiniere $- 512$ und $\frac{2}{3}$ .

$56 + 6 + \frac{- 512 \cdot 2}{3} + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

Schritt 9.1.3.3

Mutltipliziere $- 512$ mit $2$ .

$56 + 6 + \frac{- 1024}{3} + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

Schritt 9.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$56 + 6 - \frac{1024}{3} + 14 \cdot 8 + 8^{2}$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $14$ mit $8$ .

$56 + 6 - \frac{1024}{3} + 112 + 8^{2}$

Schritt 9.1.6

Potenziere $8$ mit $2$ .

$56 + 6 - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

Schritt 9.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 9.2.1

Schreibe $56$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{56}{1} + 6 - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $\frac{56}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56}{1} \cdot \frac{3}{3} + 6 - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $\frac{56}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + 6 - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

Schritt 9.2.4

Schreibe $6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6}{1} - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

Schritt 9.2.5

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6}{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

Schritt 9.2.6

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + 112 + 64$

Schritt 9.2.7

Schreibe $112$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112}{1} + 64$

Schritt 9.2.8

Mutltipliziere $\frac{112}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112}{1} \cdot \frac{3}{3} + 64$

Schritt 9.2.9

Mutltipliziere $\frac{112}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + 64$

Schritt 9.2.10

Schreibe $64$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{64}{1}$

Schritt 9.2.11

Mutltipliziere $\frac{64}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{64}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 9.2.12

Mutltipliziere $\frac{64}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{56 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3} + \frac{112 \cdot 3}{3} + \frac{64 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{56 \cdot 3 + 6 \cdot 3 - 1024 + 112 \cdot 3 + 64 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $56$ mit $3$ .

$\frac{168 + 6 \cdot 3 - 1024 + 112 \cdot 3 + 64 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\frac{168 + 18 - 1024 + 112 \cdot 3 + 64 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.4.3

Mutltipliziere $112$ mit $3$ .

$\frac{168 + 18 - 1024 + 336 + 64 \cdot 3}{3}$

Schritt 9.4.4

Mutltipliziere $64$ mit $3$ .

$\frac{168 + 18 - 1024 + 336 + 192}{3}$

Schritt 9.5

Addiere $168$ und $18$ .

$\frac{186 - 1024 + 336 + 192}{3}$

Schritt 9.6

Subtrahiere $1024$ von $186$ .

$\frac{- 838 + 336 + 192}{3}$

Schritt 9.7

Addiere $- 838$ und $336$ .

$\frac{- 502 + 192}{3}$

Schritt 9.8

Addiere $- 502$ und $192$ .

$\frac{- 310}{3}$

Schritt 9.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{310}{3}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{310}{3}$

Dezimalform:

$- 103.\overline{3}$