Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} 4 x + \sqrt{4 x^{2} - 16}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$lim_{x \to - 8} 4 x + lim_{x \to - 8} \sqrt{4 x^{2} - 16}$

Schritt 2

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to - 8} x + lim_{x \to - 8} \sqrt{4 x^{2} - 16}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$4 lim_{x \to - 8} x + \sqrt{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} - 16}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$4 lim_{x \to - 8} x + \sqrt{lim_{x \to - 8} 4 x^{2} - lim_{x \to - 8} 16}$

Schritt 5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$4 lim_{x \to - 8} x + \sqrt{4 lim_{x \to - 8} x^{2} - lim_{x \to - 8} 16}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$4 lim_{x \to - 8} x + \sqrt{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - lim_{x \to - 8} 16}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$4 lim_{x \to - 8} x + \sqrt{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$4 \cdot - 8 + \sqrt{4 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$4 \cdot - 8 + \sqrt{4 {(- 8)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Schritt 9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$- 32 + \sqrt{4 {(- 8)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Schritt 9.2

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$- 32 + \sqrt{4 \cdot 64 - 1 \cdot 16}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $4$ mit $64$ .

$- 32 + \sqrt{256 - 1 \cdot 16}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$- 32 + \sqrt{256 - 16}$

Schritt 9.5

Subtrahiere $16$ von $256$ .

$- 32 + \sqrt{240}$

Schritt 9.6

Schreibe $240$ als $4^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 9.6.1

Faktorisiere $16$ aus $240$ heraus.

$- 32 + \sqrt{16 (15)}$

Schritt 9.6.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- 32 + \sqrt{4^{2} \cdot 15}$

Schritt 9.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- 32 + 4 \sqrt{15}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 32 + 4 \sqrt{15}$

Dezimalform:

$- 16.50806661 \dots$