Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} 3 x^{\frac{2}{3}} - 16 x^{- 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} 3 x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 8} 16 x^{- 1}$

Schritt 2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 8} 16 x^{- 1}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $\frac{2}{3}$ von $x^{\frac{2}{3}}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} - lim_{x \to 8} 16 x^{- 1}$

Schritt 4

Ziehe den Term $16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} - 16 lim_{x \to 8} x^{- 1}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $- 1$ von $x^{- 1}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$3 {(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}} - 16 {(lim_{x \to 8} x)}^{- 1}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} - 16 {(lim_{x \to 8} x)}^{- 1}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} - 16 \cdot 8^{- 1}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} - 16 \cdot 8^{- 1}$

Schritt 7.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} - 16 \cdot 8^{- 1}$

Schritt 7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} - 16 \cdot 8^{- 1}$

Schritt 7.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 8^{- 1}$

Schritt 7.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 \cdot 4 - 16 \cdot 8^{- 1}$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 - 16 \cdot 8^{- 1}$

Schritt 7.1.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 - 16 \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 7.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 7.1.7.1

Faktorisiere $8$ aus $- 16$ heraus.

$12 + 8 (- 2) \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 7.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 + 8 \cdot - 2 \cdot \frac{1}{8}$

Schritt 7.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$12 - 2$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $12$ .

$10$