Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{- x + \sqrt{3 x}}{3 x + 3}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} - x + \sqrt{3 x}}{lim_{x \to 8} 3 x + 3}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x}}{lim_{x \to 8} 3 x + 3}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{- lim_{x \to 8} x + \sqrt{lim_{x \to 8} 3 x}}{lim_{x \to 8} 3 x + 3}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- lim_{x \to 8} x + \sqrt{3 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 3 x + 3}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 8} x + \sqrt{3 lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 3}$

Schritt 6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{- lim_{x \to 8} x + \sqrt{3 lim_{x \to 8} x}}{3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{- lim_{x \to 8} x + \sqrt{3 lim_{x \to 8} x}}{3 lim_{x \to 8} x + 3}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{- 8 + \sqrt{3 lim_{x \to 8} x}}{3 lim_{x \to 8} x + 3}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{- 8 + \sqrt{3 \cdot 8}}{3 lim_{x \to 8} x + 3}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{- 8 + \sqrt{3 \cdot 8}}{3 \cdot 8 + 3}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{- 8 + \sqrt{24}}{3 \cdot 8 + 3}$

Schritt 9.1.2

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 9.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$\frac{- 8 + \sqrt{4 (6)}}{3 \cdot 8 + 3}$

Schritt 9.1.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{- 8 + \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{3 \cdot 8 + 3}$

Schritt 9.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{- 8 + 2 \sqrt{6}}{3 \cdot 8 + 3}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{- 8 + 2 \sqrt{6}}{24 + 3}$

Schritt 9.2.2

Addiere $24$ und $3$ .

$\frac{- 8 + 2 \sqrt{6}}{27}$

Schritt 9.3

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{- 1 (8) + 2 \sqrt{6}}{27}$

Schritt 9.4

Faktorisiere $- 1$ aus $2 \sqrt{6}$ heraus.

$\frac{- 1 (8) - (- 2 \sqrt{6})}{27}$

Schritt 9.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (8) - (- 2 \sqrt{6})$ heraus.

$\frac{- 1 (8 - 2 \sqrt{6})}{27}$

Schritt 9.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 - 2 \sqrt{6}}{27}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{8 - 2 \sqrt{6}}{27}$

Dezimalform:

$- 0.11485261 \dots$