Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} (1 + \sqrt[3]{x}) (2 - 6 x^{x^{3}})$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} 1 + \sqrt[3]{x} \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{x^{3}}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$(lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{x^{3}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$(1 + lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{x^{3}}$

Schritt 1.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot lim_{x \to 8} 2 - 6 x^{x^{3}}$

Schritt 1.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (lim_{x \to 8} 2 - lim_{x \to 8} 6 x^{x^{3}})$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - lim_{x \to 8} 6 x^{x^{3}})$

Schritt 1.7

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 lim_{x \to 8} x^{x^{3}})$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $x^{x^{3}}$ als $e^{\ln (x^{x^{3}})}$ um.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 lim_{x \to 8} e^{\ln (x^{x^{3}})})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (x^{x^{3}})$ durch Herausziehen von $x^{3}$ aus dem Logarithmus.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 lim_{x \to 8} e^{x^{3} \ln (x)})$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 e^{lim_{x \to 8} x^{3} \ln (x)})$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 e^{lim_{x \to 8} x^{3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Schritt 3.3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 e^{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Schritt 3.4

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$(1 + \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x}) \cdot (2 - 6 e^{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 e^{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 e^{8^{3} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$(1 + \sqrt[3]{8}) \cdot (2 - 6 e^{8^{3} \cdot \ln (8)})$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$(1 + \sqrt[3]{2^{3}}) \cdot (2 - 6 e^{8^{3} \cdot \ln (8)})$

Schritt 5.1.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$(1 + 2) \cdot (2 - 6 e^{8^{3} \cdot \ln (8)})$

Schritt 5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$3 \cdot (2 - 6 e^{8^{3} \cdot \ln (8)})$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$3 \cdot (2 - 6 e^{512 \cdot \ln (8)})$

Schritt 5.3.2

Vereinfache $512 \cdot \ln (8)$ , indem du $512$ in den Logarithmus ziehst.

$3 \cdot (2 - 6 e^{\ln (8^{512})})$

Schritt 5.3.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$3 \cdot (2 - 6 \cdot 8^{512})$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \cdot 2 + 3 (- 6 \cdot 8^{512})$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 + 3 (- 6 \cdot 8^{512})$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$6 - 18 \cdot 8^{512}$