Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} 18 - \frac{123 x^{2}}{x^{2} + 40}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} 18 - lim_{x \to 8} \frac{123 x^{2}}{x^{2} + 40}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $18$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$18 - lim_{x \to 8} \frac{123 x^{2}}{x^{2} + 40}$

Schritt 3

Ziehe den Term $123$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$18 - 123 lim_{x \to 8} \frac{x^{2}}{x^{2} + 40}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$18 - 123 \frac{lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 40}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$18 - 123 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + 40}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$18 - 123 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 40}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$18 - 123 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 40}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $40$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$18 - 123 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 40}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$18 - 123 \frac{8^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 40}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$18 - 123 \frac{8^{2}}{8^{2} + 40}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$18 - 123 \frac{64}{8^{2} + 40}$

Schritt 10.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.2.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$18 - 123 \frac{64}{64 + 40}$

Schritt 10.1.2.2

Addiere $64$ und $40$ .

$18 - 123 (\frac{64}{104})$

Schritt 10.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $104$ .

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Schritt 10.1.3.1

Faktorisiere $8$ aus $64$ heraus.

$18 - 123 \frac{8 (8)}{104}$

Schritt 10.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $104$ heraus.

$18 - 123 \frac{8 \cdot 8}{8 \cdot 13}$

Schritt 10.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 - 123 \frac{8 \cdot 8}{8 \cdot 13}$

Schritt 10.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$18 - 123 (\frac{8}{13})$

Schritt 10.1.4

Multipliziere $- 123 (\frac{8}{13})$ .

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Schritt 10.1.4.1

Kombiniere $- 123$ und $\frac{8}{13}$ .

$18 + \frac{- 123 \cdot 8}{13}$

Schritt 10.1.4.2

Mutltipliziere $- 123$ mit $8$ .

$18 + \frac{- 984}{13}$

Schritt 10.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$18 - \frac{984}{13}$

Schritt 10.2

Um $18$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{13}{13}$ .

$18 \cdot \frac{13}{13} - \frac{984}{13}$

Schritt 10.3

Kombiniere $18$ und $\frac{13}{13}$ .

$\frac{18 \cdot 13}{13} - \frac{984}{13}$

Schritt 10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{18 \cdot 13 - 984}{13}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1

Mutltipliziere $18$ mit $13$ .

$\frac{234 - 984}{13}$

Schritt 10.5.2

Subtrahiere $984$ von $234$ .

$\frac{- 750}{13}$

Schritt 10.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{750}{13}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{750}{13}$

Dezimalform:

$- 57.69230769 \dots$