Analysis Beispiele

$lim_{x \to 5} (\frac{8^{3 x}}{x - 5}) + \frac{8^{15}}{x - 5}$

Schritt 1

Vereinige Brüche unter Anwendung eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 5} \frac{8^{3 x} + 8^{15}}{x - 5}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $8^{3 x}$ als ${(8^{x})}^{3}$ um.

$lim_{x \to 5} \frac{{(8^{x})}^{3} + 8^{15}}{x - 5}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $8^{15}$ als ${(8^{5})}^{3}$ um.

$lim_{x \to 5} \frac{{(8^{x})}^{3} + {(8^{5})}^{3}}{x - 5}$

Schritt 1.2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 8^{x}$ und $b = 8^{5}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 8^{5}) ({(8^{x})}^{2} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Potenziere $8$ mit $5$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) ({(8^{x})}^{2} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Schritt 1.2.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(8^{x})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{x \cdot 2} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Schritt 1.2.4.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{x} \cdot 8^{5} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Schritt 1.2.4.3

Multipliziere $8^{x}$ mit $8^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.4.3.1

Bewege $8^{5}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - (8^{5} \cdot 8^{x}) + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Schritt 1.2.4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + {(8^{5})}^{2})}{x - 5}$

Schritt 1.2.4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(8^{5})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + 8^{5 \cdot 2})}{x - 5}$

Schritt 1.2.4.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + 8^{10})}{x - 5}$

Schritt 1.2.4.5

Potenziere $8$ mit $10$ .

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} - 8^{5 + x} + 1073741824)}{x - 5}$

Schritt 1.2.4.6

Stelle die Terme um.

$lim_{x \to 5} \frac{(8^{x} + 32768) (8^{2 x} + 1073741824 - 8^{5 + x})}{x - 5}$

Schritt 2

Da die Funktion von links gegen $- \infty$ geht und von rechts gegen $\infty$ geht, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$