Analysis Beispiele

$lim_{x \to 7} (x + \sqrt{x - 6}) (x^{2 - 2 x + 1})$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$lim_{x \to 7} x + \sqrt{x - 6} \cdot lim_{x \to 7} x^{2 - 2 x + 1}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$(lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} \sqrt{x - 6}) \cdot lim_{x \to 7} x^{2 - 2 x + 1}$

Schritt 1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 6}) \cdot lim_{x \to 7} x^{2 - 2 x + 1}$

Schritt 1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - lim_{x \to 7} 6}) \cdot lim_{x \to 7} x^{2 - 2 x + 1}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot lim_{x \to 7} x^{2 - 2 x + 1}$

Schritt 1.6

Addiere $2$ und $1$ .

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot lim_{x \to 7} x^{- 2 x + 3}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe $x^{- 2 x + 3}$ als $e^{\ln (x^{- 2 x + 3})}$ um.

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot lim_{x \to 7} e^{\ln (x^{- 2 x + 3})}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (x^{- 2 x + 3})$ durch Herausziehen von $- 2 x + 3$ aus dem Logarithmus.

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot lim_{x \to 7} e^{(- 2 x + 3) \ln (x)}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{lim_{x \to 7} (- 2 x + 3) \ln (x)}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{lim_{x \to 7} - 2 x + 3 \cdot lim_{x \to 7} \ln (x)}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $7$ annähert.

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- lim_{x \to 7} 2 x + lim_{x \to 7} 3) \cdot lim_{x \to 7} \ln (x)}$

Schritt 3.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 lim_{x \to 7} x + lim_{x \to 7} 3) \cdot lim_{x \to 7} \ln (x)}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $7$ annähert.

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 lim_{x \to 7} x + 3) \cdot lim_{x \to 7} \ln (x)}$

Schritt 3.6

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$(lim_{x \to 7} x + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 lim_{x \to 7} x + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 7} x)}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $7$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$(7 + \sqrt{lim_{x \to 7} x - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 lim_{x \to 7} x + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 7} x)}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$(7 + \sqrt{7 - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 lim_{x \to 7} x + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 7} x)}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$(7 + \sqrt{7 - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 7} x)}$

Schritt 4.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $7$ für $x$ .

$(7 + \sqrt{7 - 1 \cdot 6}) \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (7)}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$(7 + \sqrt{7 - 6}) \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (7)}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$(7 + \sqrt{1}) \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (7)}$

Schritt 5.1.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$(7 + 1) \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (7)}$

Schritt 5.2

Addiere $7$ und $1$ .

$8 \cdot e^{(- 2 \cdot 7 + 3) \cdot \ln (7)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$8 \cdot e^{(- 14 + 3) \cdot \ln (7)}$

Schritt 5.4

Addiere $- 14$ und $3$ .

$8 e^{- 11 \ln (7)}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$8 e^{- 11 \ln (7)}$

Dezimalform:

$4.04586648 \cdot 10^{- 9}$