Analysis Beispiele

$lim_{x \to 6} (\sqrt{6 x} + 3 x - \frac{1}{x}) (x^{2} - 4)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$lim_{x \to 6} \sqrt{6 x} + 3 x - \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 4$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$(lim_{x \to 6} \sqrt{6 x} + lim_{x \to 6} 3 x - lim_{x \to 6} \frac{1}{x}) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 4$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$(\sqrt{lim_{x \to 6} 6 x} + lim_{x \to 6} 3 x - lim_{x \to 6} \frac{1}{x}) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 4$

Schritt 4

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$(\sqrt{6 lim_{x \to 6} x} + lim_{x \to 6} 3 x - lim_{x \to 6} \frac{1}{x}) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 4$

Schritt 5

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$(\sqrt{6 lim_{x \to 6} x} + 3 lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} \frac{1}{x}) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 4$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$(\sqrt{6 lim_{x \to 6} x} + 3 lim_{x \to 6} x - \frac{lim_{x \to 6} 1}{lim_{x \to 6} x}) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 4$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $6$ annähert.

$(\sqrt{6 lim_{x \to 6} x} + 3 lim_{x \to 6} x - \frac{1}{lim_{x \to 6} x}) \cdot lim_{x \to 6} x^{2} - 4$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$(\sqrt{6 lim_{x \to 6} x} + 3 lim_{x \to 6} x - \frac{1}{lim_{x \to 6} x}) \cdot (lim_{x \to 6} x^{2} - lim_{x \to 6} 4)$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$(\sqrt{6 lim_{x \to 6} x} + 3 lim_{x \to 6} x - \frac{1}{lim_{x \to 6} x}) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - lim_{x \to 6} 4)$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $6$ annähert.

$(\sqrt{6 lim_{x \to 6} x} + 3 lim_{x \to 6} x - \frac{1}{lim_{x \to 6} x}) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $6$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$(\sqrt{6 \cdot 6} + 3 lim_{x \to 6} x - \frac{1}{lim_{x \to 6} x}) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$(\sqrt{6 \cdot 6} + 3 \cdot 6 - \frac{1}{lim_{x \to 6} x}) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 11.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$(\sqrt{6 \cdot 6} + 3 \cdot 6 - \frac{1}{6}) \cdot ({(lim_{x \to 6} x)}^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 11.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$(\sqrt{6 \cdot 6} + 3 \cdot 6 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$(\sqrt{36} + 3 \cdot 6 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.1.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$(\sqrt{6^{2}} + 3 \cdot 6 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$(6 + 3 \cdot 6 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$(6 + 18 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Schreibe $6$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$(\frac{6}{1} + 18 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.2.2

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$(\frac{6}{1} \cdot \frac{6}{6} + 18 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $\frac{6}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$(\frac{6 \cdot 6}{6} + 18 - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.2.4

Schreibe $18$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$(\frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{18}{1} - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.2.5

Mutltipliziere $\frac{18}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$(\frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{18}{1} \cdot \frac{6}{6} - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.2.6

Mutltipliziere $\frac{18}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$(\frac{6 \cdot 6}{6} + \frac{18 \cdot 6}{6} - \frac{1}{6}) \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 \cdot 6 + 18 \cdot 6 - 1}{6} \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.1

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{36 + 18 \cdot 6 - 1}{6} \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.4.2

Mutltipliziere $18$ mit $6$ .

$\frac{36 + 108 - 1}{6} \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.5

Addiere $36$ und $108$ .

$\frac{144 - 1}{6} \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.6

Subtrahiere $1$ von $144$ .

$\frac{143}{6} \cdot (6^{2} - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.7.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{143}{6} \cdot (36 - 1 \cdot 4)$

Schritt 12.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{143}{6} \cdot (36 - 4)$

Schritt 12.8

Subtrahiere $4$ von $36$ .

$\frac{143}{6} \cdot 32$

Schritt 12.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.9.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{143}{2 (3)} \cdot 32$

Schritt 12.9.2

Faktorisiere $2$ aus $32$ heraus.

$\frac{143}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 16)$

Schritt 12.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{143}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 16)$

Schritt 12.9.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{143}{3} \cdot 16$

Schritt 12.10

Kombiniere $\frac{143}{3}$ und $16$ .

$\frac{143 \cdot 16}{3}$

Schritt 12.11

Mutltipliziere $143$ mit $16$ .

$\frac{2288}{3}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2288}{3}$

Dezimalform:

$762.\overline{6}$