Analysis Beispiele

$lim_{x \to 6} x \sqrt{6 + x}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$lim_{x \to 6} x \cdot lim_{x \to 6} \sqrt{6 + x}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$lim_{x \to 6} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 6} 6 + x}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$lim_{x \to 6} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 6} 6 + lim_{x \to 6} x}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $6$ annähert.

$lim_{x \to 6} x \cdot \sqrt{6 + lim_{x \to 6} x}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $6$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$6 \cdot \sqrt{6 + lim_{x \to 6} x}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$6 \cdot \sqrt{6 + 6}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Addiere $6$ und $6$ .

$6 \cdot \sqrt{12}$

Schritt 6.2

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$6 \cdot \sqrt{4 (3)}$

Schritt 6.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$6 \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Schritt 6.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$6 \cdot (2 \sqrt{3})$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 \sqrt{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$12 \sqrt{3}$

Dezimalform:

$20.78460969 \dots$