Analysis Beispiele

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{2 x - 4} - \sqrt{x + 2}}{2 - 12}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{2 - 12}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2 - 12} lim_{x \to 6} \sqrt{2 x - 4} - \sqrt{x + 2}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\frac{1}{2 - 12} (lim_{x \to 6} \sqrt{2 x - 4} - lim_{x \to 6} \sqrt{x + 2})$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{2 - 12} (\sqrt{lim_{x \to 6} 2 x - 4} - lim_{x \to 6} \sqrt{x + 2})$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\frac{1}{2 - 12} (\sqrt{lim_{x \to 6} 2 x - lim_{x \to 6} 4} - lim_{x \to 6} \sqrt{x + 2})$

Schritt 5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2 - 12} (\sqrt{2 lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 4} - lim_{x \to 6} \sqrt{x + 2})$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $6$ annähert.

$\frac{1}{2 - 12} (\sqrt{2 lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 4} - lim_{x \to 6} \sqrt{x + 2})$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{2 - 12} (\sqrt{2 lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 4} - \sqrt{lim_{x \to 6} x + 2})$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $6$ annähert.

$\frac{1}{2 - 12} (\sqrt{2 lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 4} - \sqrt{lim_{x \to 6} x + lim_{x \to 6} 2})$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $6$ annähert.

$\frac{1}{2 - 12} (\sqrt{2 lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 4} - \sqrt{lim_{x \to 6} x + 2})$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $6$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$\frac{1}{2 - 12} (\sqrt{2 \cdot 6 - 1 \cdot 4} - \sqrt{lim_{x \to 6} x + 2})$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $6$ für $x$ .

$\frac{1}{2 - 12} (\sqrt{2 \cdot 6 - 1 \cdot 4} - \sqrt{6 + 2})$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Subtrahiere $12$ von $2$ .

$\frac{1}{- 10} (\sqrt{2 \cdot 6 - 1 \cdot 4} - \sqrt{6 + 2})$

Schritt 11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{10} (\sqrt{2 \cdot 6 - 1 \cdot 4} - \sqrt{6 + 2})$

Schritt 11.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$- \frac{1}{10} (\sqrt{12 - 1 \cdot 4} - \sqrt{6 + 2})$

Schritt 11.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- \frac{1}{10} (\sqrt{12 - 4} - \sqrt{6 + 2})$

Schritt 11.3.3

Subtrahiere $4$ von $12$ .

$- \frac{1}{10} (\sqrt{8} - \sqrt{6 + 2})$

Schritt 11.3.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 11.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- \frac{1}{10} (\sqrt{4 (2)} - \sqrt{6 + 2})$

Schritt 11.3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{1}{10} (\sqrt{2^{2} \cdot 2} - \sqrt{6 + 2})$

Schritt 11.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{1}{10} (2 \sqrt{2} - \sqrt{6 + 2})$

Schritt 11.3.6

Addiere $6$ und $2$ .

$- \frac{1}{10} (2 \sqrt{2} - \sqrt{8})$

Schritt 11.3.7

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 11.3.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- \frac{1}{10} (2 \sqrt{2} - \sqrt{4 (2)})$

Schritt 11.3.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{1}{10} (2 \sqrt{2} - \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

Schritt 11.3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{1}{10} (2 \sqrt{2} - (2 \sqrt{2}))$

Schritt 11.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{10} (2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2})$

Schritt 11.4

Subtrahiere $2 \sqrt{2}$ von $2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot 0$

Schritt 11.5

Multipliziere $- \frac{1}{10} \cdot 0$ .

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Schritt 11.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 (\frac{1}{10})$

Schritt 11.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{10}$ .

$0$