Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{5 e^{- x} + 10}{6 e^{x} - 1}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 5 e^{- x} + 10}{lim_{x \to 8} 6 e^{x} - 1}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 5 e^{- x} + lim_{x \to 8} 10}{lim_{x \to 8} 6 e^{x} - 1}$

Schritt 3

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to 8} e^{- x} + lim_{x \to 8} 10}{lim_{x \to 8} 6 e^{x} - 1}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{5 e^{lim_{x \to 8} - x} + lim_{x \to 8} 10}{lim_{x \to 8} 6 e^{x} - 1}$

Schritt 5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 e^{- lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 10}{lim_{x \to 8} 6 e^{x} - 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{5 e^{- lim_{x \to 8} x} + 10}{lim_{x \to 8} 6 e^{x} - 1}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{5 e^{- lim_{x \to 8} x} + 10}{lim_{x \to 8} 6 e^{x} - lim_{x \to 8} 1}$

Schritt 8

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 e^{- lim_{x \to 8} x} + 10}{6 lim_{x \to 8} e^{x} - lim_{x \to 8} 1}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{5 e^{- lim_{x \to 8} x} + 10}{6 e^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 1}$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{5 e^{- lim_{x \to 8} x} + 10}{6 e^{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{5 e^{- 8} + 10}{6 e^{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 1}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{5 e^{- 8} + 10}{6 e^{8} - 1 \cdot 1}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 \frac{1}{e^{8}} + 10}{6 e^{8} - 1 \cdot 1}$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{5}{e^{8}} + 10}{6 e^{8} - 1 \cdot 1}$

Schritt 12.1.3

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{e^{8}}{e^{8}}$ .

$\frac{\frac{5}{e^{8}} + \frac{10 e^{8}}{e^{8}}}{6 e^{8} - 1 \cdot 1}$

Schritt 12.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{5 + 10 e^{8}}{e^{8}}}{6 e^{8} - 1 \cdot 1}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{5 + 10 e^{8}}{e^{8}}}{6 e^{8} - 1}$

Schritt 12.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{5 + 10 e^{8}}{e^{8}} \cdot \frac{1}{6 e^{8} - 1}$

Schritt 12.4

Mutltipliziere $\frac{5 + 10 e^{8}}{e^{8}}$ mit $\frac{1}{6 e^{8} - 1}$ .

$\frac{5 + 10 e^{8}}{e^{8} (6 e^{8} - 1)}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5 + 10 e^{8}}{e^{8} (6 e^{8} - 1)}$

Dezimalform:

$0.00055922 \dots$