Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{6 \sqrt{1 + x^{2}}}{3 x^{2}}$

Schritt 1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 \sqrt{1 + x^{2}}$ heraus.

$lim_{x \to 8} \frac{3 (2 \sqrt{1 + x^{2}})}{3 x^{2}}$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to 8} \frac{3 (2 \sqrt{1 + x^{2}})}{3 (x^{2})}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 8} \frac{3 (2 \sqrt{1 + x^{2}})}{3 x^{2}}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 8} \frac{2 \sqrt{1 + x^{2}}}{x^{2}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x^{2}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to 8} \sqrt{1 + x^{2}}}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$2 \frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 1 + x^{2}}}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$2 \frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$2 \frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 \frac{\sqrt{1 + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} x^{2}}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$2 \frac{\sqrt{1 + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$2 \frac{\sqrt{1 + 8^{2}}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$2 \frac{\sqrt{1 + 8^{2}}}{8^{2}}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$2 \frac{\sqrt{1 + 64}}{8^{2}}$

Schritt 10.1.2

Addiere $1$ und $64$ .

$2 \frac{\sqrt{65}}{8^{2}}$

Schritt 10.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$2 \frac{\sqrt{65}}{64}$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $2$ aus $64$ heraus.

$2 \frac{\sqrt{65}}{2 (32)}$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\sqrt{65}}{2 \cdot 32}$

Schritt 10.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{65}}{32}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{65}}{32}$

Dezimalform:

$0.25194555 \dots$