Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{64}{x^{4}} \cdot (\frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{16})$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \frac{64}{x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{16}$

Schritt 2

Ziehe den Term $64$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$64 lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{16}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$64 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{16}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$64 \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{16}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$64 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot lim_{x \to 8} \frac{x^{2} {(x + 1)}^{2}}{16}$

Schritt 6

Ziehe den Term $\frac{1}{16}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$64 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot \frac{1}{16} lim_{x \to 8} x^{2} {(x + 1)}^{2}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$64 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot \frac{1}{16} lim_{x \to 8} x^{2} \cdot lim_{x \to 8} {(x + 1)}^{2}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$64 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot \frac{1}{16} {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} {(x + 1)}^{2}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x + 1)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$64 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot \frac{1}{16} {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 8} x + 1)}^{2}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$64 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot \frac{1}{16} {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1)}^{2}$

Schritt 11

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$64 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} \cdot \frac{1}{16} {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 8} x + 1)}^{2}$

Schritt 12

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 12.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$64 \frac{1}{8^{4}} \cdot \frac{1}{16} {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot {(lim_{x \to 8} x + 1)}^{2}$

Schritt 12.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$64 \frac{1}{8^{4}} \cdot \frac{1}{16} \cdot 8^{2} \cdot {(lim_{x \to 8} x + 1)}^{2}$

Schritt 12.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$64 \frac{1}{8^{4}} \cdot \frac{1}{16} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 13.1.1

Faktorisiere $16$ aus $64 \frac{1}{8^{4}}$ heraus.

$16 (4 \frac{1}{8^{4}}) \cdot \frac{1}{16} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Schritt 13.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 (4 \frac{1}{8^{4}}) \cdot \frac{1}{16} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Schritt 13.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{1}{8^{4}} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Schritt 13.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{8^{4}}$ .

$\frac{4}{8^{4}} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Schritt 13.3

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{4}{4096} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Schritt 13.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $4096$ .

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Schritt 13.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (1)}{4096} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Schritt 13.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4096$ heraus.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 1024} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Schritt 13.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 1024} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Schritt 13.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1024} \cdot 8^{2} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Schritt 13.5

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{1}{1024} \cdot 64 \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Schritt 13.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 13.6.1

Faktorisiere $64$ aus $1024$ heraus.

$\frac{1}{64 (16)} \cdot 64 \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Schritt 13.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{64 \cdot 16} \cdot 64 \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Schritt 13.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{16} \cdot {(8 + 1)}^{2}$

Schritt 13.7

Addiere $8$ und $1$ .

$\frac{1}{16} \cdot 9^{2}$

Schritt 13.8

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{1}{16} \cdot 81$

Schritt 13.9

Kombiniere $\frac{1}{16}$ und $81$ .

$\frac{81}{16}$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{81}{16}$

Dezimalform:

$5.0625$