Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} - \frac{6}{5 x^{3} \sqrt{x}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 8} \frac{6}{5 x^{3} \sqrt{x}}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{6}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{6}{5} lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{3} \sqrt{x}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{3} \sqrt{x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{3} \sqrt{x}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{3} \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{8^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{8^{3} \cdot \sqrt{8}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{512 \sqrt{8}}$

Schritt 9.1.2

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 9.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{512 \sqrt{4 (2)}}$

Schritt 9.1.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{512 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{512 \cdot 2 \sqrt{2}}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $512$ mit $2$ .

$- \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{1024 \sqrt{2}}$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{6}{5}$ in den Zähler.

$\frac{- 6}{5} \cdot \frac{1}{1024 \sqrt{2}}$

Schritt 9.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 (- 3)}{5} \cdot \frac{1}{1024 \sqrt{2}}$

Schritt 9.2.3

Faktorisiere $2$ aus $1024 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (- 3)}{5} \cdot \frac{1}{2 (512 \sqrt{2})}$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 3}{5} \cdot \frac{1}{2 (512 \sqrt{2})}$

Schritt 9.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{5} \cdot \frac{1}{512 \sqrt{2}}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $\frac{- 3}{5}$ mit $\frac{1}{512 \sqrt{2}}$ .

$\frac{- 3}{5 (512 \sqrt{2})}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $512$ mit $5$ .

$\frac{- 3}{2560 \sqrt{2}}$

Schritt 9.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2560 \sqrt{2}}$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $\frac{3}{2560 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{3}{2560 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 9.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.7.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2560 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 9.7.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Schritt 9.7.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Schritt 9.7.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Schritt 9.7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.7.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 9.7.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 9.7.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.7.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.7.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.7.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.7.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.7.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 \cdot 2^{1}}$

Schritt 9.7.7.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{3 \sqrt{2}}{2560 \cdot 2}$

Schritt 9.8

Mutltipliziere $2560$ mit $2$ .

$- \frac{3 \sqrt{2}}{5120}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{3 \sqrt{2}}{5120}$

Dezimalform:

$- 0.00082864 \dots$