Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{7 x^{2} + x \cdot \sin (x)}{3 - x^{2} + \sin (7 x^{2})}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 7 x^{2} + x \cdot \sin (x)}{lim_{x \to 8} 3 - x^{2} + \sin (7 x^{2})}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 7 x^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (x)}{lim_{x \to 8} 3 - x^{2} + \sin (7 x^{2})}$

Schritt 3

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (x)}{lim_{x \to 8} 3 - x^{2} + \sin (7 x^{2})}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (x)}{lim_{x \to 8} 3 - x^{2} + \sin (7 x^{2})}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (x)}{lim_{x \to 8} 3 - x^{2} + \sin (7 x^{2})}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} 3 - x^{2} + \sin (7 x^{2})}$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} 3 - lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} \sin (7 x^{2})}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{3 - lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} \sin (7 x^{2})}$

Schritt 9

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{3 - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} \sin (7 x^{2})}$

Schritt 10

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{3 - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + \sin (lim_{x \to 8} 7 x^{2})}$

Schritt 11

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{3 - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + \sin (7 lim_{x \to 8} x^{2})}$

Schritt 12

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} x)}{3 - {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + \sin (7 {(lim_{x \to 8} x)}^{2})}$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1