Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{4} + 4 x^{3} - 80 x^{2}}{x^{4} - 41 x^{2} + 400}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{4} + 4 x^{3} - 80 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{4} - 41 x^{2} + 400}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 4 x^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{3} - lim_{x \to 8} 80 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{4} - 41 x^{2} + 400}$

Schritt 3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{3} - lim_{x \to 8} 80 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{4} - 41 x^{2} + 400}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 4 x^{3} - lim_{x \to 8} 80 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{4} - 41 x^{2} + 400}$

Schritt 5

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 80 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{4} - 41 x^{2} + 400}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 80 x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{4} - 41 x^{2} + 400}$

Schritt 7

Ziehe den Term $80$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 80 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} x^{4} - 41 x^{2} + 400}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 80 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{4} - 41 x^{2} + 400}$

Schritt 9

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 80 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 41 x^{2} + lim_{x \to 8} 400}$

Schritt 10

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 80 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 41 x^{2} + lim_{x \to 8} 400}$

Schritt 11

Ziehe den Term $41$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 80 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 41 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 400}$

Schritt 12

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 80 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 41 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 400}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $400$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 80 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 41 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 400}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{4} + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 80 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 41 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 400}$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{4} + 4 \cdot 8^{3} - 80 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 41 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 400}$

Schritt 14.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{4} + 4 \cdot 8^{3} - 80 \cdot 8^{2}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 41 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 400}$

Schritt 14.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{4} + 4 \cdot 8^{3} - 80 \cdot 8^{2}}{8^{4} - 41 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 400}$

Schritt 14.5

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{4 \cdot 8^{4} + 4 \cdot 8^{3} - 80 \cdot 8^{2}}{8^{4} - 41 \cdot 8^{2} + 400}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.1

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{4 \cdot 4096 + 4 \cdot 8^{3} - 80 \cdot 8^{2}}{8^{4} - 41 \cdot 8^{2} + 400}$

Schritt 15.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4096$ .

$\frac{16384 + 4 \cdot 8^{3} - 80 \cdot 8^{2}}{8^{4} - 41 \cdot 8^{2} + 400}$

Schritt 15.1.3

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{16384 + 4 \cdot 512 - 80 \cdot 8^{2}}{8^{4} - 41 \cdot 8^{2} + 400}$

Schritt 15.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $512$ .

$\frac{16384 + 2048 - 80 \cdot 8^{2}}{8^{4} - 41 \cdot 8^{2} + 400}$

Schritt 15.1.5

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{16384 + 2048 - 80 \cdot 64}{8^{4} - 41 \cdot 8^{2} + 400}$

Schritt 15.1.6

Mutltipliziere $- 80$ mit $64$ .

$\frac{16384 + 2048 - 5120}{8^{4} - 41 \cdot 8^{2} + 400}$

Schritt 15.1.7

Addiere $16384$ und $2048$ .

$\frac{18432 - 5120}{8^{4} - 41 \cdot 8^{2} + 400}$

Schritt 15.1.8

Subtrahiere $5120$ von $18432$ .

$\frac{13312}{8^{4} - 41 \cdot 8^{2} + 400}$

Schritt 15.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.1

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{13312}{4096 - 41 \cdot 8^{2} + 400}$

Schritt 15.2.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{13312}{4096 - 41 \cdot 64 + 400}$

Schritt 15.2.3

Mutltipliziere $- 41$ mit $64$ .

$\frac{13312}{4096 - 2624 + 400}$

Schritt 15.2.4

Subtrahiere $2624$ von $4096$ .

$\frac{13312}{1472 + 400}$

Schritt 15.2.5

Addiere $1472$ und $400$ .

$\frac{13312}{1872}$

Schritt 15.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $13312$ und $1872$ .

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Schritt 15.3.1

Faktorisiere $208$ aus $13312$ heraus.

$\frac{208 (64)}{1872}$

Schritt 15.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.3.2.1

Faktorisiere $208$ aus $1872$ heraus.

$\frac{208 \cdot 64}{208 \cdot 9}$

Schritt 15.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{208 \cdot 64}{208 \cdot 9}$

Schritt 15.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{64}{9}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{64}{9}$

Dezimalform:

$7.\overline{1}$