Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{3 \sqrt{x} + x^{- 7}}{7 x - 5}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x} + x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 3 \sqrt{x} + lim_{x \to 8} x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Schritt 3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 lim_{x \to 8} \sqrt{x} + lim_{x \to 8} x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} x^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $- 7$ von $x^{- 7}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - 5}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{lim_{x \to 8} 7 x - lim_{x \to 8} 5}$

Schritt 7

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5}$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{3 \sqrt{lim_{x \to 8} x} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8} + {(lim_{x \to 8} x)}^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8} + 8^{- 7}}{7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5}$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{3 \sqrt{8} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 10.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{3 \sqrt{4 (2)} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Schritt 10.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Schritt 10.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{3 (2 \sqrt{2}) + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 \sqrt{2} + 8^{- 7}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Schritt 10.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6 \sqrt{2} + \frac{1}{8^{7}}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Schritt 10.1.5

Potenziere $8$ mit $7$ .

$\frac{6 \sqrt{2} + \frac{1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Schritt 10.1.6

Um $6 \sqrt{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2097152}{2097152}$ .

$\frac{6 \sqrt{2} \cdot \frac{2097152}{2097152} + \frac{1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Schritt 10.1.7

Kombiniere $6 \sqrt{2}$ und $\frac{2097152}{2097152}$ .

$\frac{\frac{6 \sqrt{2} \cdot 2097152}{2097152} + \frac{1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Schritt 10.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{6 \sqrt{2} \cdot 2097152 + 1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Schritt 10.1.9

Mutltipliziere $2097152$ mit $6$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{7 \cdot 8 - 1 \cdot 5}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{56 - 1 \cdot 5}$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{56 - 5}$

Schritt 10.2.3

Subtrahiere $5$ von $56$ .

$\frac{\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}}{51}$

Schritt 10.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152} \cdot \frac{1}{51}$

Schritt 10.4

Multipliziere $\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152} \cdot \frac{1}{51}$ .

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152}$ mit $\frac{1}{51}$ .

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{2097152 \cdot 51}$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $2097152$ mit $51$ .

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{106954752}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{12582912 \sqrt{2} + 1}{106954752}$

Dezimalform:

$0.16637807 \dots$