Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{3 e^{- x}}{\ln (1 + 7 e^{- x})}$

Schritt 1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 lim_{x \to 8} \frac{e^{- x}}{\ln (1 + 7 e^{- x})}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$3 \frac{lim_{x \to 8} e^{- x}}{lim_{x \to 8} \ln (1 + 7 e^{- x})}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$3 \frac{e^{lim_{x \to 8} - x}}{lim_{x \to 8} \ln (1 + 7 e^{- x})}$

Schritt 4

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} \ln (1 + 7 e^{- x})}$

Schritt 5

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (lim_{x \to 8} 1 + 7 e^{- x})}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 7 e^{- x})}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + lim_{x \to 8} 7 e^{- x})}$

Schritt 8

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + 7 lim_{x \to 8} e^{- x})}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + 7 e^{lim_{x \to 8} - x})}$

Schritt 10

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 \frac{e^{- lim_{x \to 8} x}}{\ln (1 + 7 e^{- lim_{x \to 8} x})}$

Schritt 11

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 11.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$3 \frac{e^{- 8}}{\ln (1 + 7 e^{- lim_{x \to 8} x})}$

Schritt 11.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$3 \frac{e^{- 8}}{\ln (1 + 7 e^{- 8})}$

Schritt 12

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 12.1

Bringe $e^{- 8}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{1}{\ln (1 + 7 e^{- 8}) e^{8}}$

Schritt 12.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{1}{\ln (1 + 7 \frac{1}{e^{8}}) e^{8}}$

Schritt 12.2.1.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{e^{8}}$ .

$3 \frac{1}{\ln (1 + \frac{7}{e^{8}}) e^{8}}$

Schritt 12.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{1}{\ln (\frac{e^{8}}{e^{8}} + \frac{7}{e^{8}}) e^{8}}$

Schritt 12.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{1}{\ln (\frac{e^{8} + 7}{e^{8}}) e^{8}}$

Schritt 12.2.4

Bringe $e^{8}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3 \frac{1}{\ln ((e^{8} + 7) e^{- 8}) e^{8}}$

Schritt 12.2.5

Schreibe $\ln ((e^{8} + 7) e^{- 8})$ als $\ln (e^{8} + 7) + \ln (e^{- 8})$ um.

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) + \ln (e^{- 8})) e^{8}}$

Schritt 12.2.6

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 8$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8 \ln (e)) e^{8}}$

Schritt 12.2.7

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8 \cdot 1) e^{8}}$

Schritt 12.2.8

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$3 \frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$

Schritt 12.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$ .

$\frac{3}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$

Schritt 12.4

Stelle die Faktoren in $\frac{3}{(\ln (e^{8} + 7) - 8) e^{8}}$ um.

$\frac{3}{e^{8} (\ln (e^{8} + 7) - 8)}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3}{e^{8} (\ln (e^{8} + 7) - 8)}$

Dezimalform:

$0.42907442 \dots$