Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{\sin (x) + 2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{\sin (x) + 2}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} x^{\sin (x) + 2}}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe $x^{\sin (x) + 2}$ als $e^{\ln (x^{\sin (x) + 2})}$ um.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} e^{\ln (x^{\sin (x) + 2})}}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (x^{\sin (x) + 2})$ durch Herausziehen von $\sin (x) + 2$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} e^{(\sin (x) + 2) \ln (x)}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{1}{e^{lim_{x \to 8} (\sin (x) + 2) \ln (x)}}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{e^{lim_{x \to 8} \sin (x) + 2 \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Schritt 3.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{e^{(lim_{x \to 8} \sin (x) + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Schritt 3.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Schritt 3.5

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + 2) \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}}$

Schritt 3.6

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{1}{e^{(\sin (lim_{x \to 8} x) + 2) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (8) + 2) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{e^{(\sin (8) + 2) \cdot \ln (8)}}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1.1

Berechne $\sin (8)$ .

$\frac{1}{e^{(0.1391731 + 2) \cdot \ln (8)}}$

Schritt 5.1.2

Addiere $0.1391731$ und $2$ .

$\frac{1}{e^{2.1391731 \cdot \ln (8)}}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache $2.1391731 \cdot \ln (8)$ , indem du $2.1391731$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{1}{e^{\ln (8^{2.1391731})}}$

Schritt 5.1.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{1}{8^{2.1391731}}$

Schritt 5.1.5

Potenziere $8$ mit $2.1391731$ .

$\frac{1}{85.48025477}$

Schritt 5.2

Dividiere $1$ durch $85.48025477$ .

$0.0116986$