Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} | x^{2} \sin (\frac{1}{x}) |$

Schritt 1

Bringe den Limes zwischen die Absolutwert-Zeichen.

$| lim_{x \to 8} x^{2} \sin (\frac{1}{x}) |$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$| lim_{x \to 8} x^{2} \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{1}{x}) |$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$| {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{1}{x}) |$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$| {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{1}{x}) |$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$| {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot \sin (\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x}) |$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$| {(lim_{x \to 8} x)}^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{x \to 8} x}) |$

Schritt 7

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 7.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$| 8^{2} \cdot \sin (\frac{1}{lim_{x \to 8} x}) |$

Schritt 7.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$| 8^{2} \cdot \sin (\frac{1}{8}) |$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$| 64 \cdot \sin (\frac{1}{8}) |$

Schritt 8.2

Berechne $\sin (\frac{1}{8})$ .

$| 64 \cdot 0.12467473 |$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $64$ mit $0.12467473$ .

$| 7.97918293 |$

Schritt 8.4

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $7.97918293$ ist $7.97918293$ .

$7.97918293$