Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$- lim_{x \to 8} \frac{1}{3} x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{1}{3} lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x^{2}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- \frac{1}{3} {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x^{2}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- \frac{1}{3} {(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 8^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 8^{3} + 8^{2}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 512 + 8^{2}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 512$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $512$ mit $- 1$ .

$- 512 (\frac{1}{3}) + 8^{2}$

Schritt 6.1.2.2

Kombiniere $- 512$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 512}{3} + 8^{2}$

Schritt 6.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{512}{3} + 8^{2}$

Schritt 6.1.4

Potenziere $8$ mit $2$ .

$- \frac{512}{3} + 64$

Schritt 6.2

Um $64$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{3} + 64 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.3

Kombiniere $64$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{512}{3} + \frac{64 \cdot 3}{3}$

Schritt 6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 512 + 64 \cdot 3}{3}$

Schritt 6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $64$ mit $3$ .

$\frac{- 512 + 192}{3}$

Schritt 6.5.2

Addiere $- 512$ und $192$ .

$\frac{- 320}{3}$

Schritt 6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{320}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{320}{3}$

Dezimalform:

$- 106.\overline{6}$