Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{1}{3 - \sqrt{x}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} 3 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} 3 - \sqrt{x}}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to 8} 3 - lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{3 - lim_{x \to 8} \sqrt{x}}$

Schritt 1.5

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{3 - \sqrt{lim_{x \to 8} x}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{3 - \sqrt{8}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{3 - \sqrt{4 (2)}}$

Schritt 3.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{1}{3 - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{3 - (2 \sqrt{2})}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3 + 2 \sqrt{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3 + 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{(3 - 2 \sqrt{2}) (3 + 2 \sqrt{2})}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{9 + 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

$\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}$

Schritt 3.6

Dividiere $3 + 2 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$3 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$3 + 2 \sqrt{2}$

Dezimalform:

$5.82842712 \dots$