Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} \frac{1 + 7 \sqrt[3]{x}}{2 \sqrt[3]{x}}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to - 8} \frac{1 + 7 \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 8} 1 + 7 \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 8} 1 + lim_{x \to - 8} 7 \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + lim_{x \to - 8} 7 \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 7 lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x}}{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x}}$

Schritt 6

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 7 \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x}}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 7 \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x}}{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 7 \sqrt[3]{- 8}}{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 7 \sqrt[3]{- 8}}{\sqrt[3]{- 8}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Schreibe $- 8$ als ${(- 2)}^{3}$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 7 \sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}}{\sqrt[3]{- 8}}$

Schritt 9.1.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 + 7 \cdot - 2}{\sqrt[3]{- 8}}$

Schritt 9.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 14}{\sqrt[3]{- 8}}$

Schritt 9.1.4

Subtrahiere $14$ von $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 13}{\sqrt[3]{- 8}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Schreibe $- 8$ als ${(- 2)}^{3}$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 13}{\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}}$

Schritt 9.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 13}{- 2}$

Schritt 9.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{13}{2}$

Schritt 9.4

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{13}{2}$ .

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{13}{2}$ .

$\frac{13}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{13}{4}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{13}{4}$

Dezimalform:

$3.25$