Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{5 x^{2}}}{2 x}$

Schritt 1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{5 x^{2}}}{x}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 5 x^{2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 lim_{x \to 8} x^{2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 8^{2}}}{lim_{x \to 8} x}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5 \cdot 8^{2}}}{8}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombinieren.

$\frac{1 \sqrt{5 \cdot 8^{2}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $\sqrt{5 \cdot 8^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{5 \cdot 8^{2}}}{2 \cdot 8}$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{\sqrt{5 \cdot 8^{2}}}{16}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{5 \cdot 64}}{16}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $64$ .

$\frac{\sqrt{320}}{16}$

Schritt 7.4.3

Schreibe $320$ als $8^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 7.4.3.1

Faktorisiere $64$ aus $320$ heraus.

$\frac{\sqrt{64 (5)}}{16}$

Schritt 7.4.3.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{8^{2} \cdot 5}}{16}$

Schritt 7.4.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{8 \sqrt{5}}{16}$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $16$ .

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Schritt 7.5.1

Faktorisiere $8$ aus $8 \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{8 (\sqrt{5})}{16}$

Schritt 7.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.5.2.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$\frac{8 \sqrt{5}}{8 \cdot 2}$

Schritt 7.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \sqrt{5}}{8 \cdot 2}$

Schritt 7.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Dezimalform:

$1.11803398 \dots$