Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x^{3} - 4 x^{2} - 7 x - 5}}{3} \cdot (16 x - 8)$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x^{3} - 4 x^{2} - 7 x - 5}}{3} \cdot lim_{x \to 8} 16 x - 8$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x^{3} - 4 x^{2} - 7 x - 5} \cdot lim_{x \to 8} 16 x - 8$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} - 4 x^{2} - 7 x - 5} \cdot lim_{x \to 8} 16 x - 8$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} 7 x - lim_{x \to 8} 5} \cdot lim_{x \to 8} 16 x - 8$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 4 x^{2} - lim_{x \to 8} 7 x - lim_{x \to 8} 5} \cdot lim_{x \to 8} 16 x - 8$

Schritt 6

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 7 x - lim_{x \to 8} 5} \cdot lim_{x \to 8} 16 x - 8$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 7 x - lim_{x \to 8} 5} \cdot lim_{x \to 8} 16 x - 8$

Schritt 8

Ziehe den Term $7$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 5} \cdot lim_{x \to 8} 16 x - 8$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5} \cdot lim_{x \to 8} 16 x - 8$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5} \cdot (lim_{x \to 8} 16 x - lim_{x \to 8} 8)$

Schritt 11

Ziehe den Term $16$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5} \cdot (16 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8)$

Schritt 12

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5} \cdot (16 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8)$

Schritt 13

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 13.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{8^{3} - 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5} \cdot (16 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8)$

Schritt 13.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{8^{3} - 4 \cdot 8^{2} - 7 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 5} \cdot (16 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8)$

Schritt 13.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{8^{3} - 4 \cdot 8^{2} - 7 \cdot 8 - 1 \cdot 5} \cdot (16 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8)$

Schritt 13.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{8^{3} - 4 \cdot 8^{2} - 7 \cdot 8 - 1 \cdot 5} \cdot (16 \cdot 8 - 1 \cdot 8)$

Schritt 14

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{512 - 4 \cdot 8^{2} - 7 \cdot 8 - 1 \cdot 5} \cdot (16 \cdot 8 - 1 \cdot 8)$

Schritt 14.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{512 - 4 \cdot 64 - 7 \cdot 8 - 1 \cdot 5} \cdot (16 \cdot 8 - 1 \cdot 8)$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{512 - 256 - 7 \cdot 8 - 1 \cdot 5} \cdot (16 \cdot 8 - 1 \cdot 8)$

Schritt 14.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $8$ .

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{512 - 256 - 56 - 1 \cdot 5} \cdot (16 \cdot 8 - 1 \cdot 8)$

Schritt 14.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{512 - 256 - 56 - 5} \cdot (16 \cdot 8 - 1 \cdot 8)$

Schritt 14.6

Subtrahiere $256$ von $512$ .

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{256 - 56 - 5} \cdot (16 \cdot 8 - 1 \cdot 8)$

Schritt 14.7

Subtrahiere $56$ von $256$ .

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{200 - 5} \cdot (16 \cdot 8 - 1 \cdot 8)$

Schritt 14.8

Subtrahiere $5$ von $200$ .

$\frac{1}{3} \sqrt[3]{195} \cdot (16 \cdot 8 - 1 \cdot 8)$

Schritt 14.9

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt[3]{195}$ .

$\frac{\sqrt[3]{195}}{3} \cdot (16 \cdot 8 - 1 \cdot 8)$

Schritt 14.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.10.1

Mutltipliziere $16$ mit $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{195}}{3} \cdot (128 - 1 \cdot 8)$

Schritt 14.10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{195}}{3} \cdot (128 - 8)$

Schritt 14.11

Subtrahiere $8$ von $128$ .

$\frac{\sqrt[3]{195}}{3} \cdot 120$

Schritt 14.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.12.1

Faktorisiere $3$ aus $120$ heraus.

$\frac{\sqrt[3]{195}}{3} \cdot (3 (40))$

Schritt 14.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt[3]{195}}{3} \cdot (3 \cdot 40)$

Schritt 14.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt[3]{195} \cdot 40$

Schritt 14.13

Bringe $40$ auf die linke Seite von $\sqrt[3]{195}$ .

$40 \sqrt[3]{195}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$40 \sqrt[3]{195}$

Dezimalform:

$231.95559990 \dots$