Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{x^{3}}{2 x^{3} - 100 x^{2}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x^{3}}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 100 x^{2}}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - 100 x^{2}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{lim_{x \to 8} 2 x^{3} - lim_{x \to 8} 100 x^{2}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{2 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 100 x^{2}}$

Schritt 5

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 100 x^{2}}$

Schritt 6

Ziehe den Term $100$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 100 lim_{x \to 8} x^{2}}$

Schritt 7

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{3}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 100 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8^{3}}{2 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 100 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8^{3}}{2 \cdot 8^{3} - 100 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8^{3}}{2 \cdot 8^{3} - 100 \cdot 8^{2}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{512}{2 \cdot 8^{3} - 100 \cdot 8^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{512}{2 \cdot 512 - 100 \cdot 8^{2}}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $512$ .

$\frac{512}{1024 - 100 \cdot 8^{2}}$

Schritt 9.2.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{512}{1024 - 100 \cdot 64}$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $- 100$ mit $64$ .

$\frac{512}{1024 - 6400}$

Schritt 9.2.5

Subtrahiere $6400$ von $1024$ .

$\frac{512}{- 5376}$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $512$ und $- 5376$ .

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Schritt 9.3.1

Faktorisiere $256$ aus $512$ heraus.

$\frac{256 (2)}{- 5376}$

Schritt 9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $256$ aus $- 5376$ heraus.

$\frac{256 \cdot 2}{256 \cdot - 21}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{256 \cdot 2}{256 \cdot - 21}$

Schritt 9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{- 21}$

Schritt 9.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{21}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{2}{21}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{095238}$