Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} \frac{x^{2}}{\sqrt{6 x^{4} - 1}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{6 x^{4} - 1}}$

Schritt 2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{6 x^{4} - 1}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 6 x^{4} - 1}}$

Schritt 4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 6 x^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{\sqrt{6 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Schritt 6

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{\sqrt{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{\sqrt{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8^{2}}{\sqrt{6 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$\frac{8^{2}}{\sqrt{6 \cdot 8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{64}{\sqrt{6 \cdot 8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Potenziere $8$ mit $4$ .

$\frac{64}{\sqrt{6 \cdot 4096 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $4096$ .

$\frac{64}{\sqrt{24576 - 1 \cdot 1}}$

Schritt 9.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{64}{\sqrt{24576 - 1}}$

Schritt 9.2.4

Subtrahiere $1$ von $24576$ .

$\frac{64}{\sqrt{24575}}$

Schritt 9.2.5

Schreibe $24575$ als $5^{2} \cdot 983$ um.

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Schritt 9.2.5.1

Faktorisiere $25$ aus $24575$ heraus.

$\frac{64}{\sqrt{25 (983)}}$

Schritt 9.2.5.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{64}{\sqrt{5^{2} \cdot 983}}$

Schritt 9.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{64}{5 \sqrt{983}}$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $\frac{64}{5 \sqrt{983}}$ mit $\frac{\sqrt{983}}{\sqrt{983}}$ .

$\frac{64}{5 \sqrt{983}} \cdot \frac{\sqrt{983}}{\sqrt{983}}$

Schritt 9.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.4.1

Mutltipliziere $\frac{64}{5 \sqrt{983}}$ mit $\frac{\sqrt{983}}{\sqrt{983}}$ .

$\frac{64 \sqrt{983}}{5 \sqrt{983} \sqrt{983}}$

Schritt 9.4.2

Bewege $\sqrt{983}$ .

$\frac{64 \sqrt{983}}{5 (\sqrt{983} \sqrt{983})}$

Schritt 9.4.3

Potenziere $\sqrt{983}$ mit $1$ .

$\frac{64 \sqrt{983}}{5 ({\sqrt{983}}^{1} \sqrt{983})}$

Schritt 9.4.4

Potenziere $\sqrt{983}$ mit $1$ .

$\frac{64 \sqrt{983}}{5 ({\sqrt{983}}^{1} {\sqrt{983}}^{1})}$

Schritt 9.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{64 \sqrt{983}}{5 {\sqrt{983}}^{1 + 1}}$

Schritt 9.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{64 \sqrt{983}}{5 {\sqrt{983}}^{2}}$

Schritt 9.4.7

Schreibe ${\sqrt{983}}^{2}$ als $983$ um.

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Schritt 9.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{983}$ als $983^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{64 \sqrt{983}}{5 {(983^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 \sqrt{983}}{5 \cdot 983^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 9.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{64 \sqrt{983}}{5 \cdot 983^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64 \sqrt{983}}{5 \cdot 983^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 9.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{64 \sqrt{983}}{5 \cdot 983^{1}}$

Schritt 9.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{64 \sqrt{983}}{5 \cdot 983}$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $5$ mit $983$ .

$\frac{64 \sqrt{983}}{4915}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{64 \sqrt{983}}{4915}$

Dezimalform:

$0.40825659 \dots$