Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x - 1})}^{3 x}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(\frac{x}{x - 1})}^{3 x}$ als $e^{\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})}$ um.

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(\frac{x}{x - 1})}^{3 x})$ durch Herausziehen von $3 x$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 8} e^{3 x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 8} 3 x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Schritt 2.2

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{3 lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x}{x - 1})}$

Schritt 2.4

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x}{x - 1})}$

Schritt 2.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Schritt 2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1})}$

Schritt 2.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$e^{3 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Schritt 3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{3 \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$e^{24 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}$

Schritt 4.2

Vereinfache $24 \cdot \ln (\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})$ , indem du $24$ in den Logarithmus ziehst.

$e^{\ln ({(\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}^{24})}$

Schritt 4.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

${(\frac{8}{8 - 1 \cdot 1})}^{24}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

${(\frac{8}{8 - 1})}^{24}$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $1$ von $8$ .

${(\frac{8}{7})}^{24}$

Schritt 4.5

Wende die Produktregel auf $\frac{8}{7}$ an.

$\frac{8^{24}}{7^{24}}$

Schritt 4.6

Potenziere $8$ mit $24$ .

$\frac{4722366482869640000000}{7^{24}}$

Schritt 4.7

Potenziere $7$ mit $24$ .

$\frac{4722366482869640000000}{191581231380566000000}$

Schritt 4.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4722366482869640000000$ und $191581231380566000000$ .

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Schritt 4.8.1

Faktorisiere $2000000$ aus $4722366482869640000000$ heraus.

$\frac{2000000 (2361183241434820)}{191581231380566000000}$

Schritt 4.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.8.2.1

Faktorisiere $2000000$ aus $191581231380566000000$ heraus.

$\frac{2000000 \cdot 2361183241434820}{2000000 \cdot 95790615690283}$

Schritt 4.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2000000 \cdot 2361183241434820}{2000000 \cdot 95790615690283}$

Schritt 4.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2361183241434820}{95790615690283}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2361183241434820}{95790615690283}$

Dezimalform:

$24.64942128 \dots$