Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} \frac{\sqrt[3]{x^{6} + 64}}{3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Schritt 3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{6} + lim_{x \to - 8} 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Schritt 4

Ziehe den Exponenten $6$ von $x^{6}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + lim_{x \to - 8} 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert von $64$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{lim_{x \to - 8} 3 x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Schritt 7

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Schritt 8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} \sqrt{2 x^{4} + 16}}$

Schritt 9

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 2 x^{4} + 16}}$

Schritt 10

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{lim_{x \to - 8} 2 x^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

Schritt 11

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 lim_{x \to - 8} x^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

Schritt 12

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + lim_{x \to - 8} 16}}$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $16$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

Schritt 14

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 14.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

Schritt 14.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} + 16}}$

Schritt 14.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 8)}^{6} + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Schritt 15

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 15.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.1

Potenziere $- 8$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt[3]{262144 + 64}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Schritt 15.1.2

Addiere $262144$ und $64$ .

$\frac{\sqrt[3]{262208}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Schritt 15.1.3

Schreibe $262208$ als $4^{3} \cdot 4097$ um.

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Schritt 15.1.3.1

Faktorisiere $64$ aus $262208$ heraus.

$\frac{\sqrt[3]{64 (4097)}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Schritt 15.1.3.2

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$\frac{\sqrt[3]{4^{3} \cdot 4097}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Schritt 15.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{3 {(- 8)}^{2} + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Schritt 15.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 15.2.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{3 \cdot 64 + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Schritt 15.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{2 {(- 8)}^{4} + 16}}$

Schritt 15.2.3

Potenziere $- 8$ mit $4$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{2 \cdot 4096 + 16}}$

Schritt 15.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $4096$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{8192 + 16}}$

Schritt 15.2.5

Addiere $8192$ und $16$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{8208}}$

Schritt 15.2.6

Schreibe $8208$ als $12^{2} \cdot 57$ um.

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Schritt 15.2.6.1

Faktorisiere $144$ aus $8208$ heraus.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{144 (57)}}$

Schritt 15.2.6.2

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + \sqrt{12^{2} \cdot 57}}$

Schritt 15.2.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{192 + 12 \sqrt{57}}$

Schritt 15.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $192 + 12 \sqrt{57}$ .

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Schritt 15.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt[3]{4097}$ heraus.

$\frac{4 (\sqrt[3]{4097})}{192 + 12 \sqrt{57}}$

Schritt 15.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $192$ heraus.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 \cdot 48 + 12 \sqrt{57}}$

Schritt 15.3.2.2

Faktorisiere $4$ aus $12 \sqrt{57}$ heraus.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 \cdot 48 + 4 (3 \sqrt{57})}$

Schritt 15.3.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (48) + 4 (3 \sqrt{57})$ heraus.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 (48 + 3 \sqrt{57})}$

Schritt 15.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt[3]{4097}}{4 (48 + 3 \sqrt{57})}$

Schritt 15.3.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$

Schritt 15.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$ mit $\frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}} \cdot \frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$

Schritt 15.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{4097}}{48 + 3 \sqrt{57}}$ mit $\frac{48 - 3 \sqrt{57}}{48 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{(48 + 3 \sqrt{57}) (48 - 3 \sqrt{57})}$

Schritt 15.6

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{2304 - 144 \sqrt{57} + 144 \sqrt{57} - 9 {\sqrt{57}}^{2}}$

Schritt 15.7

Vereinfache.

$\frac{\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})}{1791}$

Schritt 15.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48 - 3 \sqrt{57}$ und $1791$ .

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Schritt 15.8.1

Faktorisiere $3$ aus $\sqrt[3]{4097} (48 - 3 \sqrt{57})$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{1791}$

Schritt 15.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.8.2.1

Faktorisiere $3$ aus $1791$ heraus.

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{3 (597)}$

Schritt 15.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57}))}{3 \cdot 597}$

Schritt 15.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57})}{597}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt[3]{4097} (16 - \sqrt{57})}{597}$

Dezimalform:

$0.22648852 \dots$