Analysis Beispiele

$lim_{x \to 8} {(1 + \frac{1}{x})}^{\frac{x}{10}}$

Schritt 1

Vereine die Terme

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{\frac{x}{10}}$

Schritt 1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x + 1}{x})}^{\frac{x}{10}}$

Schritt 2

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(\frac{x + 1}{x})}^{\frac{x}{10}}$ als $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{\frac{x}{10}})}$ um.

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{\frac{x}{10}})}$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{\frac{x}{10}})$ durch Herausziehen von $\frac{x}{10}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{x}{10} \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{x}{10} \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Schritt 3.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{x}{10} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $\frac{1}{10}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{1}{10} lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Schritt 3.4

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{1}{10} lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x + 1}{x})}$

Schritt 3.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{\frac{1}{10} lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x})}$

Schritt 3.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $8$ annähert.

$e^{\frac{1}{10} lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})}$

Schritt 3.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $8$ annähert.

$e^{\frac{1}{10} lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x})}$

Schritt 4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $8$ für alle $x$ .

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{10} \cdot 8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x})}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{10} \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{x \to 8} x})}$

Schritt 4.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $8$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{10} \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$e^{\frac{1}{2 (5)} \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$e^{\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 4) \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Schritt 5.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot 4) \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Schritt 5.1.4

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{1}{5} \cdot 4 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $4$ .

$e^{\frac{4}{5} \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

Schritt 5.3

Addiere $8$ und $1$ .

$e^{\frac{4}{5} \cdot \ln (\frac{9}{8})}$

Schritt 5.4

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $\ln (\frac{9}{8})$ .

$e^{\frac{4 \ln (\frac{9}{8})}{5}}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e^{\frac{4 \ln (\frac{9}{8})}{5}}$

Dezimalform:

$1.09880851 \dots$