Analysis Beispiele

$lim_{x \to - 8} \frac{10 - 2^{x}}{10 + 2^{- x}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} 10 - 2^{x}}{lim_{x \to - 8} 10 + 2^{- x}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - 8} 10 - lim_{x \to - 8} 2^{x}}{lim_{x \to - 8} 10 + 2^{- x}}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{10 - lim_{x \to - 8} 2^{x}}{lim_{x \to - 8} 10 + 2^{- x}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{10 - 2^{lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} 10 + 2^{- x}}$

Schritt 5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- 8$ annähert.

$\frac{10 - 2^{lim_{x \to - 8} x}}{lim_{x \to - 8} 10 + lim_{x \to - 8} 2^{- x}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $10$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- 8$ annähert.

$\frac{10 - 2^{lim_{x \to - 8} x}}{10 + lim_{x \to - 8} 2^{- x}}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{10 - 2^{lim_{x \to - 8} x}}{10 + 2^{lim_{x \to - 8} - x}}$

Schritt 8

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{10 - 2^{lim_{x \to - 8} x}}{10 + 2^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Schritt 9

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $- 8$ für alle $x$ .

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{10 - 2^{- 8}}{10 + 2^{- lim_{x \to - 8} x}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $- 8$ für $x$ .

$\frac{10 - 2^{- 8}}{10 + 2^{8}}$

Schritt 10

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10 - \frac{1}{2^{8}}}{10 + 2^{8}}$

Schritt 10.1.2

Potenziere $2$ mit $8$ .

$\frac{10 - \frac{1}{256}}{10 + 2^{8}}$

Schritt 10.1.3

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{256}{256}$ .

$\frac{10 \cdot \frac{256}{256} - \frac{1}{256}}{10 + 2^{8}}$

Schritt 10.1.4

Kombiniere $10$ und $\frac{256}{256}$ .

$\frac{\frac{10 \cdot 256}{256} - \frac{1}{256}}{10 + 2^{8}}$

Schritt 10.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{10 \cdot 256 - 1}{256}}{10 + 2^{8}}$

Schritt 10.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1.6.1

Mutltipliziere $10$ mit $256$ .

$\frac{\frac{2560 - 1}{256}}{10 + 2^{8}}$

Schritt 10.1.6.2

Subtrahiere $1$ von $2560$ .

$\frac{\frac{2559}{256}}{10 + 2^{8}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Potenziere $2$ mit $8$ .

$\frac{\frac{2559}{256}}{10 + 256}$

Schritt 10.2.2

Addiere $10$ und $256$ .

$\frac{\frac{2559}{256}}{266}$

Schritt 10.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2559}{256} \cdot \frac{1}{266}$

Schritt 10.4

Multipliziere $\frac{2559}{256} \cdot \frac{1}{266}$ .

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $\frac{2559}{256}$ mit $\frac{1}{266}$ .

$\frac{2559}{256 \cdot 266}$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $256$ mit $266$ .

$\frac{2559}{68096}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{2559}{68096}$

Dezimalform:

$0.03757929 \dots$